2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4

1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积(重点)2.平面向量数量积的几何意义(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b在a的方向上的投影为|b|cos ；a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积思考：投影一定是正数吗？提示投影可正、可负也可以为零3向量数量积的性质垂直向量ab0平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2或|a|求夹角cos 不等关系ab|a|b|4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)基础自测1思考辨析

2、(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同()(2)设非零向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()(3)|ab|ab.()(4)(ab)2a2b2.()解析(1).因向量的夹角包括180，直线的倾斜角不包括180.(2).由数量积的定义可知(3).|ab|ab，(4).(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2.答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a，b满足|a|2，|b|，且a与b的夹角为60，那么ab等于_ab|a|b|cos 602.3已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为_2设a与b的夹角为，则a在b方向上的投影|a|cos ，所以ab|b|a|cos 32.合 作 探 究攻 重 难向量数量积的计算及其几何意义(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a2e1e2，则a在e1上的投影是_(2)给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_(3)已知向量a与b满足|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab). 思路探究根据数量积的定义、性质

3、、运算律及投影的定义解答(1)(2)(1)设a与e1的夹角为，则a在e1上的投影为|a|cos ae1(2e1e2)e12ee1e2211cos.(2)因为两个非零向量a，b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确(3)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.规律方法求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.跟踪训练1(1)在ABC中，A60，AB3，AC2.

4、若2，(R)，且4，则的值为_设a，b，由已知得|a|3，|b|2，ab|a|b|cos 603，因为2，所以2()，所以ab，所以(ba)aba2b2(2)944，解得.(2)设非零向量a和b，它们的夹角为.若|a|5，150，求a在b方向上的投影；若ab9，|a|6，求b在a方向上的投影解|a|cos 5cos 1505，a与b方向上的投影为.，b在a方向上的投影为.与向量模有关的问题(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|. 思路探究灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2(1)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，所以|a2b|2.(2)因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)规律方法求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a

5、|2，勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.,(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等.跟踪训练2已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.解由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示：abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示：|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos .(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知

6、非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角. 思路探究(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角(1)(0,1)(1，)(1)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.(2)由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.母题探究：1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.2将例3(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解由已知得|e1ke2|，|ke1e2|，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21

7、)e1e22k，则cos，即整理得k24k10解得k2.规律方法1.求向量夹角的方法：(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos 求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，；当cos 0时，当cos 0时，.当 堂 达 标固 双 基1(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2D0B因为|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故选B.2设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A2 B1C1D2B因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为_. 设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos 12，又|b|5，所以|a|cos ，即a在b方向上的投影为.4若ab0，则a与b的夹角的取值范围是_因为ab|a|b|cos 0，所以cos 0，又0，所以.5已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|. 解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.7

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