2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教a版必修4

1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量数量积的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y202.向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.3两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.4向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b 夹角为，则cos .基础自测1思考辨析(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0.()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角()解析(1).因为当x1y2x2y10时，向量a，b的夹角也可能为180.(2).abx1x2y1y20.(3).因为两向量的夹角有可能为180.答案(1)(

2、2)(3)2已知a(2，1)，b(2,3)，则ab_，|ab|_.12ab22(1)31，ab(4,2)，|ab|2.3已知向量a(1,3)，b(2，m)，若ab，则m_.因为ab，所以ab1(2)3m0，解得m.4已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为_因为ab3541263，|a|5，|b|13，所以a与b夹角的余弦值为.合 作 探 究攻 重 难平面向量数量积的坐标运算(1)如图244，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图244(2)已知a与b同向，b(1,2)，ab10.求a的坐标；若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.思路探究(1)(2) 先由ab设点a坐标，再由ab10求.依据运算顺序和数量积的坐标公式求值(1)(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)可设F(x,2)，因为(，0)(x,2)x，所以x1，所以(，1)(1，2).(2)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab

3、)c10(2，1)(20，10)规律方法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.跟踪训练1(1)设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则向量(a2b)c()A(15,12)B0C3D11(2)已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.(1)C(2)(1)依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.(2)设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以c.向量模的坐标表示(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4 B5C3D4(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标. 【导学号：84352253】思路探究综合应用

4、向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解(1)D(1)由y40知y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D.(2)a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或e.规律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.跟踪训练2若向量a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，则|ab|的最小值为_由已知得ab(3x2,43x)，所以|ab|，当x1时，|ab|取最小值为.向量的夹角与垂直问题探究问题1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？提示：cos .2已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于？提示：由已知得ab(1x,4)a(ab)，a(ab)0.a(1,2)，1x80，x9.(1)已知向量a(2,

5、1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，) BC(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标. 【导学号：84352254】思路探究(1)可利用a，b的夹角为锐角求解(2)设出点D的坐标，利用与共线，列方程组求解点D的坐标(1)B(1)当a与b共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是，选B.(2)设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，综上，|，D(1,1)母题探究：1.将例3(1)中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围解当a与b共线时，2k10，k，此时a与b方向相反，

6、夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0且a与b不反向由ab2k0得k2.由a与b不反向得k，所以k的取值范围是.2将例3(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解cos，即，整理得3k28k30，解得k或3.规律方法1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值2涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决 当 堂 达 标固 双 基1设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是() 【导学号：84352255】A|a|b|BabCabDab与b垂直DA项，|a|1，|b|，故|a|b|；B项，ab10；C项，10；D项，ab，(ab)b0，故选D.2已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A BC DBab31(1)(2)5，|a|，|b|，设a与b的夹角为，则cos .又0，.3设a(2,4)，b(1,1)，若b(amb)，则实数m_. 【导学号：84352256】3amb(2m,4m)，b(amb)，(2m)1(4m)10，得m3.4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.8易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.5平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图245)已知点A(16,12)，B(5,15)图245(1)求|，|；(2)求OAB. 【导学号：84352257】解(1)由(16,12)，(516,1512)(21,3)，得|20，|15.(2)cosOABcos，.其中(16,12)(21,3)16(21)123300，故cosOAB，OAB45.8

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