2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教a版必修4

1、2.3.1平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示(1)不能基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的(2)不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示2向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0，特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向基础自测1思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示

2、该平面内所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()解析(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示(3)错误当e1与e2共线时，结论不一定成立答案(1)(2)(3)2若ABC是等边三角形，则与的夹角的大小为_120由向量夹角的定义知与的夹角与B互补，大小为120.3如图231所示，向量可用向量e1，e2表示为_图2314e13e2由图可知，4e13e2.合 作 探 究攻 重 难用基底表示向量(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a，b，给出下列结论：ab；ab；ab；a.其中正确的结论的序号为_(2)如图232，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a，b表示，.图232思路探究用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则(1)(1)如图，bba，正确；ab，正确；ba，b(ba)ba，正确；a，不正确(2)因为DCAB，AB2DC，E，F

3、分别是DC，AB的中点，所以a，b.babba.规律方法用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：跟踪训练1在ABC中，EFBC，EF交AC于F，设a，b，则等于() 图233AabBabCab DabA，.又EFBC，()，()ab.向量的夹角(1)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于_(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角. 思路探究可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决(1)120作a，b，则cab(如图所示)，则a，b夹角为180C.|a|1，|b|2，ca，C60，a，b的夹角为120.(2)解由向量运算的几何意义知ab，ab是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.规律方法两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方

4、法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.跟踪训练2在ABC中，若A120，ABAC，则与夹角的大小为_150如图所示，因为A120，ABAC，所以B30，所以与的夹角为180B150.平面向量基本定理的唯一性及其应用探究问题若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e12e2，则1，2，1，2有怎样的大小关系？提示：由题意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故11，22.如图234所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求. 图234思路探究可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得.解A()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.母题探究：1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠

5、近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”，求BPPN的值图235解ab，()ab，因为O，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使ab，ab，所以ab，又b，所以解得所以，即BPPN41.2将本例中点M，N的位置改为“，N为OA中点”，其他条件不变，试用a，b表示.图236解ba，ab，因为A，P，M三点共线，所以存在实数使得ba，所以(1)ab.因为B，P，N三点共线，所以存在实数使得ab，所以a(1)b.即解得所以ab.规律方法1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解当 堂 达 标固 双 基1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，D由于，不共线，所以是一组基底2已知ABCD中DAB30，则与的夹角为()A30 B60C120D150D与的夹角与DAB互补，其大小为18030150.3设D为ABC所在平面内一点，若3，则()A.B.C.D.A因为3，所以3()33，所以34，所以.4已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_3因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以解得所以xy3.5已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，. 图237解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.8

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