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2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教a版必修4

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    • 1、1.4.3正切函数的性质与图象学习目标:1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)自 主 预 习探 新 知正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇函数对称中心,kZ单调性在开区间,kZ内都是增函数基础自测1思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心()(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是xk,kZ.()(4)正切函数是增函数()解析由正切函数图象可知(1),(2),(3),(4).答案(1)(2)(3)(4)2函数ytan的定义域为_因为2xk,kZ,所以x,kZ所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是_函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的单调增区间是_,kZ令kxk,kZ得kxk,kZ即函数ytan的单调增区间是,kZ.合 作 探 究攻 重 难有关正切函数的定义域、值域问题(1)函数y的值域是()A(1,1)B(,1)(1,)C(,1)D(1,)(2)函数y3tan的定义域为_(3

      2、)函数ylg(1tan x)的定义域为_. 【导学号:84352103】思路探究求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线(1)B(2)(3)(1)当x0时,1tan x0,1;当0x时,0tan x1,1.即当x时,函数y的值域是(,1)(1,)(2)要使函数有意义应满足k,kZ,得x4k,kZ,所以函数的定义域为.(3)要使函数ylg(1tan x)有意义,则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为,所以所求x的定义域为.规律方法1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数ytan x有意义即xk,kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0,0)的定义域时,要将“x”视为一个“整体”令xk,kZ,解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件跟踪训练1函数ylogtan的定义域是()A.B.C.D.B由题意tan0,即tan0,kxk,kxk,kZ,故选B.2求函数ytan2tan

      3、1的定义域和值域解由3xk,kZ,得x(kZ),所以函数的定义域为.设ttan,则tR,yt2t12,所以原函数的值域是.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性(1)函数f(x)tan的周期为_(2)已知函数ytan,则该函数图象的对称中心坐标为_(3)判断下列函数的奇偶性:y3xtan 2x2x4;ycostan x.思路探究(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T,也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x,kZ求出(3)先求定义域看是否关于原点对称,若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1)(2),kZ(1)法一:(定义法)tantan,即tantan,f(x)tan的周期是.法二:(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ),所以图象的对称中心坐标为,kZ.(3)定义域为,关于原点对称,又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x),所以它是偶函数定义域为,关于原点对称,ycostan xsin xtan x,又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x),所以它是奇函数规律方法1

      4、.函数f(x)Atan(x)周期的求解方法:(1)定义法(2)公式法:对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法:先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(x)与f(x)的关系提醒:ytan x,xk,kZ的对称中心坐标为,kZ.跟踪训练3判断下列函数的奇偶性:(1)f(x);(2)f(x)tantan. 【导学号:84352104】解(1)由得f(x)的定义域为,不关于原点对称,所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数(2)函数定义域为,关于原点对称,又f(x)tantantantanf(x),所以函数是奇函数正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数?提示:不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开,所以它的单调区间只在(kZ)内,而不能说它在定义域内是增函数假设x1,x2,x1x2,但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小,你应该怎样做?提

      5、示:先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内,再由正切函数的单调性进行比较(1)tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为_(2)求函数y3tan的单调区间思路探究(1)利用ytan x在上为增函数比较大小,注意tan 1tan(1)(2)先将原函数化为y3tan,再由k2xk,kZ,求出单调减区间(1)tan 2tan 3tan 4tan 1(1)ytan x在区间上是单调增函数,且tan 1tan(1),又2341,所以tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)y3tan3tan,由k2xk,kZ得,x,kZ,所以y3tan的减区间为,kZ.母题探究:1.将本例(2)中的函数改为“y3tan”,结果又如何?解由kxk(kZ),得2kx2k(kZ),函数y3tan的单调递增区间是(kZ)2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何?解因为函数ylg x在(0,)上为增函数所以函数ylgtan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的递增区间,即,kZ.规律方法1.求函数yAtan(x)(A0,0,且A,都是常数)的单调区间

      6、的方法(1)若0,由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kxk,kZ,解得x的范围即可(2)若0,可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒:yAtan(x)(A0,0)只有增区间;yAtan(x)(A0,0)只有减区间当 堂 达 标固 双 基1若tan x1,则()A2kx2k(kZ)Bx(2k1)(kZ)Ckxk(kZ)Dkxk(kZ)D因为tan x1tan.所以kxk,kZ.2在下列函数中同时满足:在上递增;以2为周期;是奇函数的是()Aytan xBycos xCytanDytan xCA,D的周期为,B中函数在上递减,故选C.3比较大小:tan_tan. 【导学号:84352105】因为tantan,tantan,又0,ytan x在内单调递增,所以tantan,即tantan.4求函数ytan(x),x的值域为_(,1)ytan(x)tan x,在上为减函数,所以值域为(,1)5求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心. 【导学号:84352106】解由k,kZ,得x2k,kZ,函数的定义域为.T2,函数的最小正周期为2.由kk,kZ,得2kx2k,kZ,函数的单调递增区间为, kZ.由,kZ,得xk,kZ,函数图象的对称中心是,kZ.9

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