2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教a版必修4

1、1.6三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点)2实际问题抽象为三角函数模型(难点)自 主 预 习探 新 知1三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型2解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论基础自测1思考辨析(1)函数y|sin x|的周期为.()(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.()(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流强度I为 A()解析(1)错误函数y|sin x|的周期为2.(2)错误一个周期通过路程为20 cm，所以2 s内通过的路程为20100(cm)(3)正确答案(1)(2)(3)2如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s往返一次图16108观察图象可知此简谐运动的周期T0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次3如图162所示的图象显示的是相对于平均海

2、平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为_图162y6sinx设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0，0)则A6，T12，.当x9时，ymax6.故92k，kZ.取k1得，即y6sinx.合 作 探 究攻 重 难三角函数图象的应用(1)函数yxsin|x|，x，的大致图象是() A BC D(2)作出函数y|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. 【导学号：84352127】思路探究(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断(2)依据y|cos x|画图，并判断此函数的性质(1)C(1)yxsin|x|是非奇非偶函数，图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.(2)y|cos x|图象如图所示由图象可知：T；y|cos x|是偶函数；单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.规律方法(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.(2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：由函数yf(x)的图

3、象要得到y|f(x)|的图象，只需将yf(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.由函数yf(x)的图象要得到yf(|x|)的图象，应保留yf(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.跟踪训练1函数f(x)2sin x(x，)的图象大致为() A BC DAf()2sin()201，f2sin210.5，f(0)2sin 0201，f2sin2，f()2sin 201.由此知选项A符合要求三角函数模型在物理学中的应用已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】思路探究确定函数yAsin(x)中的参数A，的物理意义是解题关键解列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(

4、1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.规律方法在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsin(x)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.跟踪训练2交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t s时第一次取得最大值三角函数模型的实际应用探究问题在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3

5、)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 【导学号：84352129】思路探究(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求.(2)解不等式y1，确定有多少时间可供冲浪者活动解(1)由表中数据可知，T12，.又t0时，y1.5，Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost1(0t24)(2)y1时，才对冲浪爱好者开放，ycost11，cost0,2kt2k，即12k3t12k3，(kZ)又0t24，所以0t3或9

6、t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？解由ycost11.25得cost，2kt2k，kZ，即12k2t12k2，kZ.又0t24，所以0t2或10t14或22t24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10t14.2若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用yAsin tb刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式解函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，b10，A13103，所求函数的解析式为y3sin t10(0t24)规律方法解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域当 堂 达 标固 双 基1与图163中曲线对应的函数解析式是()图163Ay|sin x|Bysin |x|Cysi

7、n |x|Dy|sin x|C注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x(0，)时，sin |x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.2在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s15sin，s210cos 2t确定，则当t s时，s1与s2的大小关系是() 【导学号：84352130】As1s2 Bs1s2Cs1s2D不能确定C当t时，s15sin5sin5，当t时，s210cos105，故s1s2.3如图164表示电流强度I与时间t的关系为IAsin(x)(A0，0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图164AI300sinBI300sinCI300sinDI300sinCA300，T2，100，I300sin(100t)代入点，得1000，得，I300sin.4一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l_cm.由已知得1，所以2，42，l.5如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化图165(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量. 【导学号：84352131】解(1)设种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0，0)，则解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又当t6时，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)当t2时，y100sin800750，即当年3月1日动物种群数量约是750.8

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