2019年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版含答案

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84.的展开式中的系数为（）A.12B.16C.20D.245.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A.16B.8C.4D

2、.26.已知曲线在处的切线方程为，则（）A.B.C.D.7.函数在的图像大致为（）8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于（）A.B.C.D.10.双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（）A.B.C.D.11.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A.B.C.D.12.设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在有且仅有3个极大值点；在有且仅有2个极小值点；在单调递增；的取值范围是.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为单位向量，且，若，则_.14.记为等差数列的前项和，若，则_.15.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为_.16.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，.打印所用的材

3、料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.18.（12分）的内角的对边分别是，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.（12分）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，.将其沿折起使得与重合.连结，如图2.（1）证明：图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大

4、小.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.21.（12分）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）如图，在极坐标系中，弧，所在的圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出的极坐标方程；（2）曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.23.选修4-5：不等式选讲（10分）设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：1.【答案】A【分析】先求出集合B再求出交集.【详解】，则，故选A【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.【答案】D【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】故选D【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题3.【

5、答案】C【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选C【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题4.【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x3的系数为，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数5.【答案】C【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值【详解】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。6.【答案】D【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得【详解】详解：，将代入得，故选D【点睛】本题关键等到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。7.【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选

6、项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查8.【答案】B【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示， 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。9.【答案】D【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】输入的为，不满足条件；不满足条件；，满足条件，输出，故选D【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析10.【答案】A【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题【详解】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，故选A【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积11.【答案】C【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上

7、，再比较大小【详解】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值12.【答案】D【分析】本题三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想【详解】，在有且仅有5个零点，正确如图为极大值点为3个，正确；极小值点为2个或3个不正确当时，当时，正确，故选D【点睛】极小值点个数动态，易错，正确性考查需认真计算，易出错二、填空题13.【答案】.【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案14.【答案】4.分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案15.【答案】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为【

8、点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养16.【答案】1188【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得， ，四棱锥OEFG的高3cm， 又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为【点睛】本题考查几何体体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解三、解答题17.【分析】(1)由可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，又由前问，得到，故又应用正弦定理，由三角形面积公式有.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.【详解】(1)证：，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以而又，

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