2二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
7页1、二次曲线上的四点共圆问题的完整结论 百年前,著名教材坐标几何(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆上任一点的坐标可以表示为R),角就叫做点的离心角),证明方法十分巧妙,还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分,一直是悬案.在20世纪80年代编写数学题解辞典(平面解析几何)时,仍未解决.到20世纪年代初编写中学数学范例点评时,才证明了此条件的充分性. 2016年高考四川卷文科第20题,2011年高考全国大纲卷理科第21题,2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献3,4).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧): 若两条直线与二次曲线有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是. 文献2还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献5用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8): 结论1 抛物线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形
2、的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论2 圆锥曲线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意,文献5中所涉及的直线的斜率均存在,所以这两个结论均正确.但不够完整,本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论,即文末的推论4. 定理1 若两条二次曲线有四个交点,则这四个交点共圆. 证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0): 式左边的展开式中不含的项,选时,再令式左边的展开式中含项的系数相等,得,此时曲线即 的形式,这种形式表示的曲线有且仅有三种情形:一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线上,所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆. 定理2 若两条直线与二次曲线有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是. 证明 由组成的曲线即 所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0): 必要性.若四个交点共圆,则存在使方程表示圆,所以式左边的展开式中含项的系数.而(否则表示曲线,不表示圆),所以. 充分性.当时,式左边的展开式中不含的项,选时,再令式左边
3、的展开式中含项的系数相等,即,得. 此时曲线即 的形式,这种形式表示的曲线有且仅有三种情形:一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线上,所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆. 推论1 若两条直线与二次曲线有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数. 证明 设两条直线为,由定理2得,四个交点共圆的充要条件是. (1)当即时,得四个交点共圆的充要条件即也即或. (2)当与不平行即时,由得,所以四个交点共圆的充要条件即也即直线的斜率均存在且均不为0且互为相反数. 由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆:的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,线段的中点为,直线与椭圆交于,证明:. 解 (1)(过程略)椭圆的方程是. (2)设,线段的中点为. 可得,把它们相减后分解因式(即点差法),再得 所以,由推论1得四点共圆. 再由相交弦定理,立得. 竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题
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