教材完全解读_高中数学必修一__人教a版_王厚雄
17页1、书书书 第一章集合与函数概念 集合 集合的含义与表示能力题型设计 速效基础演练 或 知能提升突破 【 提示】槡 正确, 正确, 正确,所以有 个正确, 故应选 【 提示】 依题意得 , , , 其所有元素之和为 , 选 【 提示】 由方程组 , 得 , ,故、 正确应选 【 提示】 槡 , , , 槡 槡槡 槡 槡槡槡槡槡 槡槡( 槡 ) ( 槡 )槡 槡故, 、 、 , 故应选 【 提示】 当 时, 实数 , , , 槡, 槡所组成的集合为 ; 当 时, 组成的集合为 , , 故选 【 提示】 设 , , , , 则 , , 则 , 【 提示】 当 、 、 全为正数时, ; 当 、 、 中有且只有一个负数时, ; 当 、 、 中有两个负数时, ; 当 、 、 全为负数时, , , , 【 提示】 由 , , , , , , , , , 且 ( , ) , , 且 【 点拨】 ( ) 本题给出的集合是图形语言, 直观、 清楚, 解答时用符号语言, 简练、 严谨 本题也可用文字语言表示, 要力求准确、 简练 ( ) 数学中文字语言、 符号语言、 图形语言互译是正确理解题意和解题的关键 在
2、平时学习中要重视各种数学语言形态的互译, 这对提高解题能力大有裨益 解: 当 时, , , 或 经检验, , 均不合题意当 时, , 或 经检验, 、 均合题意 或 解: ( ) , , , , ,或 , ,或 , ( , ) , ( , ) , ( , ) ( ) , 且 , , , , , , , , 即 , , , , , , ( ) 方程 可化为( ) ( ) , , ,方程的解集可表示为 ( , ) ( ) ( , ) , 解: 由题意知 , , ;或 , , 得 , ;或 , ( 舍) ( ) 解: 因为集合 是方程 的解集, 则( ) , ( )是求分别使方程有一根或两相等实根, 有实根的 的取值范围( ) 当 时, 由( ) 可知, , 符合题意;当 时, 要使方程有两个相等的实根, 则 ,即 , 此时, 综上所述: 当 时, ; 当 时, ( ) 由( ) 知, 当 时, 含有一个元素, 符合题意当 时, 要使方程有实根, 则 , 即 综上所述, 使得 至少含有一个元素 集合间的基本关系能力题型设计 速效基础演练 、 、 、 、 分别是四边形、 梯形、 平行四边形、
3、菱形、 正方形的集合知能提升突破 【 提示】 集合 中必含元素 , 且为 , , , 的真子集,可按含元素个数分类依次写出集合 : , , , , , , , , , , , , , , , 【 提示】 , ( ) ( ) 故 选 【 提示】 , , 故选 【 提示】 ( ) , , 又 ( ) , 偶数 , 【 提示】 的含义是: 符合关系 的 的值的集合, 显然, 可取任意实数, 所以 ; 的含义是: 符合 ( )的 的集合, 则 非负实数 ; 的含义是: 方程 的根的集合, 解得 , 所以 ; 的含义是: 不等式 的解集, 而 ( ) , 这样的 不存在, 所以 ; ( , ) 的含义是: 抛物线 上的所有点; ( , ) , 的含义是: , 即( ) , , 表示直线 ( ) 上的点 【 提示】 , 有两种可能:( ) 有公共部分,( ) 无公共部分均不对, 只有对, 故选 , , , , , , , 或 【 提示】 , 时 ; 时, , 又 , , 或 【 提示】 对于数域 , 取 , 且 , , 则 , , 正确; 又 , , 均是 中元素, 故 中有无数元素, 正确; 对
4、于整数集 , , 时, , 故整数集不是数域, 错; 对于满足 的集合 槡 ,槡 , 不是数域, 错 解: ( ) , , , , , , , , , ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 解: , 时, 如答图 , 有 ,答图 即 , , ,化简, 得 , , 由答图 知, 使得不等式组同时成立的 的范围是 当 时, 有 , 解得 由以上可知, 当 或 时, 都有 由答图 可见, 这两部分在数轴上能连接起来 因此, 答图 答图 解: 由题意, 得 , , 集合 是关于 的方程 的解集 , 且 , 或 或 , 当集合 中含有一个元素时, 则有 ( ) , 解得 若 , 则 , 则 符合题意;若 , 则 , 则 不合题意当集合 中含有两个元素, 即 , 时, 则 , 是关于 的方程 的解 , 解得 综上可得 , 或 , 即实数 的取值集合是 , 解: , , 即 , , , , , 由答图 得 , ,即 , 即存在实数 ,当 时, 答图 集合的基本运算能力题型设计 速效基础演练 知能提升突破 【 提示】 , 选
5、 【 提示】 , 将 代入方程分别求出 , 故 , 选 答图 【 提示】 由于给出的新定义, 以及所解决的问题中的集合都是抽象的集合, 这时若类比于实数的运算, 则得出错误结论, 而用图示法, 同时有助于对新定义的理解( 形象化) , 其答案也一目了然( 如答图 ) 故选 【 提示】 瓓 , , 瓓 , , ( 瓓) ( 瓓 ) 个【 提示】 以内的自然数能被 整除的 个, 能被整除的 个, 同时能被 、 整除的个, 故能被或整除的 以内的自然数共有 ( 个) , 注意应为自然数 解: ( ) , , 用数轴可得, , ,解之得 ( ) 若 , 利用数轴可得: , 或 , 或 ,满足 的实数 的取值范围为 【 提示】 ( ) ; ( ) 第二问采用补集法求解 解: 设听数学、 历史、 音乐讲座的学生分别构成集合 、 、 用 ( ) 表示听数学讲座的人数, 则 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 人) 答: 听讲座的人数为 人 解: , , 或 ( ) 当 时, ( ) ,
6、 解得 ( ) 当 时, 方程 ( ) 有两个非正根 ( ) , , ( ) 解得 由( ) 、 ( ) 可知, 函数及其表示 函数的概念能力题型设计 速效基础演练 , 且 , ( ) ( , ( ) , 知能提升突破 【 提示】 对于 、 两图, 可以找到一个 与两个 对应的情形; 对于 图, 当 时, 有两个 的值相对应; 对于 图, 每个 都有唯一的 值对应 故选 【 提示】 由 , 知 ,()()() 【 提示】 要使 ( ) 有意义, 则 , ,解得 ,故定义域为 , ) , 选 【 提示】 函数解析式为: ( ) 由 得 , 又 , 得 ( ) 【 提示】 将 ( ) ( ) 代入 ( ) ,得 ( ) ( ) , ( ) ( ) , , ( ) , ,【 提示】 由 , 得 , 又设 的对称轴为 , 顶点的纵坐标为 ( ) , 值域为 , ,【 提示】 ( ) 的定义域是 , , 即 ( ) 的定义域为 , , 由 ( ) 的定义域是 , 【 提示】 ( ) () ( ) 定义域为 ; ( ) ( ) 解: ( ) 设 , 由于 ( ) 的定义域为 , , , , 解得
7、( ) 的定义域为 ,( ) 由题意得: , ,解得 原函数定义域为, ( ) , ( 【 提示】 令 槡 ( ) ( , 【 提示】 令 槡 ( , ) ,) 函数的表示法能力题型设计 速效基础演练答图 解: ( ) ( ) 图象如答图 所示( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) 【 提示】 分别作出 ( ) 在 , , 段上的图象, 合在一起得函数的图象知能提升突破 【 提示】 按映射概念判断, 选 【 提示】 按抛物线的开口方向及一次项系数 判断,选 【 提示】 设 , ( ) () () 即 ( ) 选 【 提 示】 , , , ( ) ( ) ,( )当 时, 方程 , 即 , 或 当 时, 方程为 方程 ( ) 有三个解 ,() 【 提示】 设 代入,得 ( ) ,又 ( ) , , 得 槡 或 【 提示】 ( ) ( ) ; 又当 时, ,) , 当 时, ( ,) , ( ) , 有 种 或 , 槡 或 答图 槡 ( ) 【 提示】 如答图 , 外接圆直径为 , 正方形边长为 由勾股定理, 得()()( ),解得 槡 ( ) 略 解: 设 ( ) ( ) ( )
8、 , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , , , , ( ) 解: 设左侧射线对应的解析式为 ( ) , 由点( , ) , ( , ) 在射线上得 , 解得 , 左侧射线对应的函数解析式为 ( ) 同理, 右侧射线的解析式为 ( ) 设中间的抛物线对应的二次函数解析式为 ( ) ( , ) , 由点( , ) 在抛物线上可得 , 解得 , 则抛物线对应的函数解析式为 ( ) , 综上可知,函数的解析式可写为 ( ) , ( ) , ( ) 分析: 直接解方程会比较麻烦, 借助于图象比较容易找到答案解: 先作出 的图象答图 ( ) , ( )如答图 , 从图中可以直接看出, 当 时, 方程有四个互不相等的实数根 时, 方程有 个不相等的实数根, 时, 方程有 个不相等的实数根, 时,方程有 个不相等的实数根, 时, 方程没有实数根 函数的基本性质 单调性与最大( 小) 值能力题型设计 速效基础演练 分析: 函数的图象关于 轴对称, 先画出 轴右侧的图象,再对称到 轴左侧, 合起来得函数的图象 借助图象, 根据答图 单调性的几何意义写出单调区间解: 函数图象如答图 所
9、示由图 象,得 函 数 的 图 象 在 区 间( , 和 , 上是上升的,在 , 和 ,) 上是下降的, 最高点是( , ) , 故函数在( , , , 上是增函数, 在 , , , ) 上是减函数, 最大值是 证明: 设 , 则 ( ) ( ) () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) 函数 ( ) 在( , ) 上是增函数知能提升突破 【 提示】 对称轴 , , , ( ) ( ) , 故选 【 提示】 设 ( ) ( ) 又 ( ) 结合 ( ) 的图象知 ( ) 在 , 上为减函数, 故 ( )槡为减函数 ( ) 在 , 上为减函数, 故选 【 提示】 在(, ) 上是减函数,由二次函数性质可排除 , 在( , ) , 是减函数 槡 是增函数, 排除 , 选 【 提示】 槡 在定义域, ) 上是增函数, (), 即函数最小值为, 无最大值, 选 【 提示】 令 ( ) , 则 , 由函数 ( ) 在区间,上是减函数, 在 , 上是增函数, 则 (), ( ) , ( ) , 故值域为 , , 选 , ) 和( , 【 提
10、示】 用绝对值的意义脱去绝对值符号, 转化为分段函数, 再求增区间 , , , ) 【 提示】 由 的图象,直接得出递增区间 ( , 【 提示】 利用单调性, 函数 槡 在 时是增函数 证明: 任取 , 则 ( ) ( ) ( ) ( ) , , 又 , ( ) ( )( ) ( ) ( ) 在( , 上是单调递减函数 解: ( ) 当 时, ( ) ( ) , , , ( ) 的对称轴为 , 时, ( ) 取最小值 ; 时, ( ) 取最大值 ( ) ( ) ( )的对称轴为 , ( ) 在 , 上是单调函数, 或 , 得 或 解: 由已知得 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 又 ( ) ( ) , ( ) ( ) 当 时, ( ) ( ) ,函数 ( ) 在( , ) 上是增函数 , , ,解得 的取值范围为( , 解: ( ) ( ) ,答图 ( ) 当 , 即 时, 截取减区间上的一段, ( ) ( ) , 如答图 所示( ) 当 , 即 时,正巧 将 顶 点 截 取 在 内, ( ) ( ) , 如答图 所示( ) 当 , 即 时,
11、截取增区间上的一段, ( ) ( ) , 如答图 所示答图 答图 综上可知, ( ) ( ) , ( ) , ( ) 奇偶性能力题型设计 速效基础演练 ( ) ( ) 知能提升突破 【 提示】 函数定义域为 , 化简函数 ( ) 槡, ( ) ( ) , 函数为奇函数, 选 【 提示】 ( ) 是奇函数, ( ) ( ) , 即 ( ) ( ) , 选 【 提示】 ( )( ) 是偶函数, , ( ) , 函数图象是开口向下的抛物线, 顶点坐标( , ) , 先增后减, 选 【 提示】 可借助特殊函数图象求解, 选 【 提示】 令 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 令 ,得 ( ) ( ) ( ) 令 得 ( ) ( ) ( ) 选 【 提示】 用函数奇偶性定义判断, 选 【 提示】 由题知 ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 不成立 ( )
12、( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 不成立 选 【 提示】 ( 特殊函数法) 由条件 ( ) ( ) ( ) 可取 ( ) , 所以 ( ) 是奇函数, 故选 【 提示】 由已知得函数 ( ) 是偶函数, 因此 , 【 提示】 ( ) 为奇函数, 则 ( ) ( ) 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 对一切 均成立 , 解得 , 当 , 时, ( ) 是奇函数 当 , 时, ( ) , 它既是奇函数, 又是偶函数 ( ) ( ) 【 提示】 设 , 则 , 由已知得, ( )( )( ) , ( ) 是奇函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 【 提示】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 当 时 ( ) ( ) , 而 , ( ) , ( ) , ( ) ( ) 在(, )上的最小值为 解: ( ) 定义域为( , , 不关于原点对称, 所以 ( ) 既不是奇函数, 也不是偶函数( ) 定义域为 , ( )( ) ( ) , 所以 ( ) 为偶
13、函数 或者从图象的角度, ( ) 的图象关于 轴对称, 所以 ( ) 为偶函数( ) 当 时, ( ) , , ( )( ) ( ) ;当 时, ( ) ( ) ; 当 时, ( ) , , ( ) ( ) 对任意 , ( ) ( ) 函数 ( ) 是偶函数 解: 以 代 可得 ( ) ( ) 又 ( ) 是偶函数, ( ) 是奇函数, ( ) ( ) 联立方程组 ( ) ( ) , ( ) ( ) 可得 ( ) , ( ) , ( , ) ( , ) ( , ) 解: 函数 ( ) 是偶函数, ( ) ( ) ( ) ( ) , 当 时, , ( ) ( ) ,即 时, ( ) 【 提示】 本题关键在于对题目条件函数 ( ) 是偶函数的应用, 主要考查了对函数的奇偶性的深刻理解知识与能力同步测控题 【 提示】 , , , , , , , 又 , , , , , 瓓( ) , , 【 提示】 问题等价于求满足下列条件的集合 的个数 , , , 故有 个 【 提示】 ( , ) , ( , ) , 且( , ) 即 , 【 提示】 ( ) 是奇函数, ( ) ( ) , ( ) ( )
14、( ) ( ) 【 提示】 ( ) ( ) ( ) ( ) 【 提示】 图中阴影部分的元素 , 且 , 但 ,所以阴影部分所表示的集合是 瓓 , 故选 【 提示】 , ( ) ( ) 又 , ( ) ( ) 【 提示】 函数 ( ) 在 , ) 上是减函数, () (), ( ) ( ) , ( ) () ( ) 即 ( ) () ( ) 【 提示】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) 【 提示】 因为 ( ) 为偶数, 故 为奇数时, ( ) 也应是奇数, 为偶数时, ( ) 也应为偶数, 所以, 对应 , 对应 或对应 , 故这样的映射有 个 , ) ( , ) 【 提示】 由题意知 , , 且 , , , , , , , 【 提示】 由 , 且 , 知 是 的约数, 故 , , , , 从而的值为 , , , , , , , ( , 【 提示】 ( ) 是偶函数, ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) , 其递减区间为( , 【 提示】 画数轴, , 【 提示】 当 , , ( ) 又 ( ) 是奇函数, ( ) ( ) , ( ) , 得 ( )
15、解: ( ) 瓓 或 ( 瓓 ) ( ) , 解: 由 ( ) , 得 ,即 ( ) ,方程 ( ) 有两个相等的实根为 ,将 代入方程得 ( ) 又由 , 得( ) ,由解得 , 解: ( ) 由 知 当 时, 其定义域应满足 , 即 槡 槡 , 故定义域为槡 ,槡 ;当 时, 其定义域应满足 , 解得其定义域为槡 , 槡 槡 ,槡 ( ) 当 时, ( ) 的定义域为 , , 此时 ( )与 ( ) 的定义域无公共部分, ( ) 不存在; 当 时, 定义域为 , ; 当 时, 定义域为 解: 在定义域内任取 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , , , 只有当 或 时, 函数才具有单调性当 , 时, ( ) ( ) ( ) 在( , ) 与( , ) 上分别是单调减函数 解: 设甲、 乙两商品分别投入 万元、 ( ) 万元, 则利润 ( ) 槡 令槡 ( ) , 则 , ( ) ( )( ) () 当 , 即 时, ( ) 答: 对甲、 乙两种商品分别投入万元、万元时, 获得最大利润 万元 解: ( ) 当 时, ( )
16、, 用函数的单调性定义可证 ( ) 在区间 , ) 上为增函数 ( ) 在 , ) 上的最小值为 ( )( ) 在区间 ,) 上, ( ) 恒成立, 等价于 恒成立设 , , ) ( ) 在 , ) 上递增,当 时, 于是, 当且仅当 时, ( ) 恒成立 第二章基本初等函数( ) 指数函数 指数与指数幂的运算能力题型设计 速效基础演练 知能提升突破 【 提示】 按分数指数幂的运算法则( ) ( ) , 正确, 选 【 提示】 若 , 则 或 ( 舍) ; 若 , 则 , 原式成立 选 【 提示】 ( ) , 选 【 提示】 按分数指数幂规定全正确, 选 【 提示】 原式化为 槡 槡 ,左边 , , 将式六次方得 ( ) , 式化为( )( ) 或 或 选 【 提示】 , ( ) ,又 槡 , ( ) , 槡 【 提示】 ,原式 ( ) 槡 槡 解: ( ) 原式 () () ( ) 原式 ( ) ( ) 解: ( ) 要使此式有意义, 必须 , , , 原式 ( ) 要使此式有意义, 必须 , 即 原式 解: ( ) 原式简化为 ( ) 因为 , 所以( ) ,即 所以( ) , 即
17、 所以 ( ) ( ) ( ) 解: 由槡 (槡 槡 ) 槡 (槡 槡 ) ,得 槡 槡 ,即 槡 可化为(槡 ) 槡 (槡 ) ,即(槡 槡 ) (槡 槡 ) 槡 槡 , 槡 槡 , 即槡 槡 槡 槡 槡 槡 指数函数及其性质能力题型设计 速效基础演练 ( , ) 增区间 , ) , 减区间( , 知能提升突破 【 提示】 由 , , ,由 , , , 选 【 提示】 ( )( ) ,( ) , ( )为偶函数, 选 【 提示】 由 ( , 且 ) , ( ) ( ) ( ) , 选 【 提示】 在 中, , ,即 的值域为( , ) ( , ) 在 中, , 槡 的值域为 , ) 在 中, , 槡 的值域为( , ) 在 中, , () () 的值域为( , ) 【 提示】 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , 且 ( ) 的定义域为 , 且 ( ) 为奇函数, 选 【 提示】 由题意得 ( ) ( ) , 且 ( ) 在区间 , ) 上是增函数,() () (), () () (), 因此 () () (), 选 【 提示】 由题意得 ( ) ( ), ( ) (
18、 ) , 即 ( ) ( ) , 由此解得 ( ) , ( ) , ( ) , 函数 ( ) 在 上是增函数, 且 ( ) ( ) , 因此 ( ) ( ) ( ) , 选 ( , 【 提示】 设 ( ) , 又 ( )()是减函数, ( ) 的值域为( , 解: 令 , 则由 , 得 , ( ) 在 , 上是增函数,当 , 即 时, 当 , 即 时, 答图 解: 将指数函数 的图象向下平行移动 个单位, 再作出 轴下方的部分关于 轴的对称图形, 就得到函数 的图象( 如答图 所示) 方程 的解, 就是直线 与函数 的图象的交点的横坐标 观察图象可得, 当 时, 直线 与函数 的图象无交点, 所以, 方程 无解; 当 或 时, 直线 与函数 的图象有唯一交点, 所以, 方程 有一解; 当 时, 直线 与函数 的图象有两个不同的交点, 所以, 方程 有两解 解: ( )()()()( ) ()()() 解: 由题意知 ( )( ) 当 , , 时, ( ) ( 元) 解析式为 ( )( ) ,第 期后本利和是 元 ( ) 解: 由 得 ,原函数的定义域是 且 ( ) 解; 在定义域内任取
19、 , 则 ( ) ()( ) () ( ) ( ) ,而 ( ) () ( ) ( ) ( ) 函数 ( ) 为偶函数( ) 证明: 当 时, 由指数函数的性质: , , 又 , ( ) () 又 ( ) 为偶函数, 当 时, ( ) 总之, 对 且 , 函数 ( ) 解: ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () () () () () () () 对数函数 对数与对数运算能力题型设计 速效基础演练 ( ) ( ) ( ) 或 知能提升突破 【 提示】 由已知得 ( ) , , 槡 【 提示】 令 , 得 , ( ) 【 提示】 , ,化简, 得 , 即 , 【 提示】 槡 , 槡 , 两边 次方得 【 提示】 , ( ) ( ) , 选 【 提示】 ( ) 槡 【 提示】 令 , 则 , () 槡 【 提示】 槡 (槡 ) 槡 (槡 ) (槡 )槡 (槡 )槡 【 提示】 , ,而 , , 即 ( ) , 即 ( ) ( ) ( ) 原式 ( ) () ( ) 原式 ( ) ( ) ( ) 解: ( ) , ( ), 即 即( ) ( ) , 解得 , 或 ,又 ,
20、, , , 应舍去, 取 则 槡 槡 槡 槡 ( ) , , 又 , ( ) ( ) 解: 令 ( 且 ) ,则有 , , ,又 , , 解: ( ) 年后该城市人口总数为 ( ) ,年后该城市人口总数为 ( ) ( ) ( ),年后该城市人口总数为 ( ) ( ) ( ), 年后该城市人口总数为 ( )( ) 年后该城市人口总数为 ( ) ( 万人) ( ) 设 年后该城市人口将达到 万人,即 ( ) ( 万人) , ( 年) 对数函数及其性质能力题型设计 速效基础演练 ( , 知能提升突破 【 提示】 由题意得 ( ,) , 因此 , ,( 瓓 ) ( , , , ( , ) , , ( 瓓 ) , , 选 【 提示】 , 由函数的单调性得, , ,()(), 即选项 、 、 错, 故选 【 提示】 由题意知 , , 故应选 【 提示】 设 , 则 ( ) ( ) 又 ( ) 为奇函数, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 选 【 提示】 由题意, 知曲线 的解析式为 , 曲线 的解析式为 , 又 与 关于直线 对称,曲线的解析式即为 的反函数, 即所求解析式为 ( )
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