排列组合中分组(分堆)与分配问题
5页1、太奇太奇 MBAMBA 数学助教数学助教李瑞玲李瑞玲 一分组(分堆)与分配问题 将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象,称为分配问 题,又分为定向分配和不定向分配两种问题。 将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题。分组问题 有不平均分组,平均分组,部分平均分组三情况。 分组问题和分配问题是有区别的, 前者组与组之间只要元素个数相 同是不区分的,而后者即使两组的元素个数相同,但因所要分配的对 象不同,仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。 一基本的分组问题 例 1.六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同 的分配方法? (1)每组两本(均分三组)(平均分组问题) (2)一组一本,一组两本,一组三本(不平均分组问题) (3)一组四本,另外两组各一本(部分平均分组问题) 分析: (1)分组和顺序无关,是组合问题。分组数为90 2 2 2 4 2 6 =CCC, 而这90种分组方法实际上重复了 6 次。现把六本不同的书标上 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1六个号码,先看一下这种情况: (1,2) (3,4) (5,6)(1,2) (5,6) (3,4
2、) (3,4) (1,2) (5,6)(3,4) (5,6) (1,2) (5,6) (1,2) (3,4)(5,6) (3,4) (1,2) 由于书是均匀分组的,三组的本数都一样,又与顺序无关,所以这种 情况下这六种分法是同一种分法,于是可知重复了 6 次。以上的分组 实际上加入了组的顺序,同理其他情况也是如此,因此还应取消分组 的顺序,即除以 3 3 P,于是最后知分法为15 6 90 3 3 2 2 2 4 2 6 = P CCC . (2)先分组,分组方法是60 3 3 2 5 1 6 =CCC,那么还要不要除以 3 3 P?(很 关键的问题) 由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即 共有60 3 3 2 5 1 6 =CCC。 (3) 先分组, 分组方法是30 1 1 1 2 4 6 =CCC, 这其中有没有重复的分法?(需 要好好考虑) 现还把六本不同的书标上6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1六个号码,先看以下情况 1)先取四本分一组,剩下的两本,一本一组,情况如下 (1,2,3,4)56(1,2,3,4)65 2)先取一本分一组,再取四本分一组,
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