高考.数学压轴难题归纳心得与分享提高培优专栏评论2.5最值位置不迷惑单调区间始与末(.)

1、【题型综述】函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【典例指引】例1已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【思路引导】（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定

2、最值的取值地方从而计算得出最值点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值例2设函数 .(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表：极大值， 当时， ，的取值范围是.例3已知函数的一个极值为（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值【思路引导】（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而得到实数的值；（2）研究函数在区间上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数的方程，解之即可. 试题解析：（1）由，得，令，得或；令，得；令，得或.所以函数有两个极值为和令.若，得，解得；若，得，解得；综上，实数的值为或5. （2）由（1）得， ， 在区间上的变化情况如下表所示：【同

3、步训练】1已知函数（且），为自然对数的底数（）当时，求函数在区间上的最大值；（）若函数只有一个零点，求的值【思路引导】(1)由导函数的解析式可得(2)由，得，分类讨论和两种情况可得（）， ，令，得，则当时， ，极小值所以当时， 有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时， ，所以此方程无解当时， ，极小值点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用2已知函数f(x)(xk)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值【思路引导】（1）f（x）=（xk+1）ex，令f（x）=0，得x=k1由此能求出f（x）的单调区间（2）当k10时，函数f（x）在区间0

4、，1上递增，f（x）min=f（0）=k；当1k2时，函数f（x）在区间0，k1上递减，（k1，1上递增，；当k2时，函数f（x）在区间0，1上递减，f（x）min=f（1）=（1k）e试题解析：(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)(k1)(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k.当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e. 3已知函数的 图象在点处的切线方程为. (1)求的值；(2)求函数在值域.【思路引导】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利

5、用单调性即可得到函数在值域. 4设函数，.（1） 关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（2） 当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）方程在一个区间上有解，可以转化为有解，研究该函数的单调性和图像使得常函数和该函数有交点即可。（2）该题可以转化为当时， 恒成立，令研究这个函数的单调性和最值即可。当时，随变化情况如下表：13+0-极大值， ， ，当时，的取值范围为（2）依题意，当时， 恒成立令， 5已知函数.（）求曲线在点处的切线方程.（）求的单调区间.（）求在上的最大值和最小值.【思路引导】 ()首先利用导函数求得切线的斜率为，结合函数在可得切线过点，则切线方程为： ()结合函数的定义域求解不等式和可得单调增区间为，单调减区间为()结合()的结论可得在上单调递增，在上单调递减则， （）时，在上单调递增，在上单调递减， ，6已知函数 （I） 讨论函数的单调区间； （II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围【思路引导】 ()对函数求导可得，令得分类讨论可得当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；()当时，函数的

6、解析式，则，讨论函数的单调性可得， ，且，则的取值范围是.（II）当时， ， 令，得将， ， 变化情况列表如下：100极大极小由此表可得， 又，故区间内必须含有，即的取值范围是7已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，且，使得，求证： .【思路引导】（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显然不行， 时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出.点评：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.8已知函数.（1）求在区间上的极小值和极大值点。（2）求在上的最大值.【思路引导】（1）当时，求导函数，确定函数的单调性，可得在区间上的极小值和极大值点；（2）分两种情况， 讨

7、论，分别利用导数确定函数的单调性，即可得到在上的极大值，与区间端点值的函数值比较即可的结果.试题解析：（1）当时， ，令，得或，当变化时， 的变化情况如下表：极小值极大值当时，函数取得极小值， ，函数取得极大值点为. 9已知函数， （）.（1）若， 恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）， 恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解，化简，得. 设，研究单调性，画出图像即得解.试题解析：（1）由题意，得的定义域为，. ，、随的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以. 在上恒成立，. 10已知函数.（I）若处取得极值，求实数a的值；（II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.【思路引导】（）求导数，把代入导函数为零可得关于的方程，解之可得实数的值，检验是否有极值即可；（）求，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 11已知函数， （其中为常数， 为自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）当时，若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）先根据导数几何意义得切线斜率，解出，再求导函数零点，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先化简，再求导数，利用参变分离转化为研究两曲线交点个数问题：函数的图象与函数的图像有两个不同交点，再利用导数研究函数图像，结合图像确定有两个交点需满足的条件试题解析：（）因为所以的定义域为，且，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此;所以令， ， 当时， ，当时， ，又因为，所以当时， ，当时， ，因此的单调递减区间为，单调递增区间为 12已知函数(1) 当时，求函数的单调增区间；(2) 求函数在区间上的最小值(3)在（1）的条件下，设=+，求证：，参考数据：.【思路引导】（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论. 试题解析：(1)当时，或。函数的单调增区间为

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