知识讲解_集合的基本关系及运算_基础
9页1、集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集在具体情境中,了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集【要点梳理】要点一:集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;子集:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset).记作:,当集合A不包含于集合B时,记作AB,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:要点诠释:(1)“是的子集”的含义是:的任何一个元素都是的元素,即由任意的,能推出(2)当不是的子集时,我们记作“(或)”,读作:“不包含于”(或“不包含”)真子集:若集合,存在元素xB且,则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作:AB(或BA)规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系,则A与B中的元素是一样的,因此A=B要点诠释:任何一个集合是它本身的子集,
2、记作要点二:集合的运算1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:AB读作:“A并B”,即:AB=x|xA,或xBVenn图表示:要点诠释:(1)“xA,或xB”包含三种情况:“”;“”;“”(2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集;记作:AB,读作:“A交B”,即AB=x|xA,且xB;交集的Venn图表示:要点诠释:(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公共元素都属于AB”(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
3、U的补集(complementary set),简称为集合A的补集,记作:补集的Venn图表示:要点诠释:(1)理解补集概念时,应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念,一个确定的集合,对于不同的集合U,补集不同(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则为全集;而当问题扩展到实数集时,则为全集,这时就不是全集(3)表示U为全集时的补集,如果全集换成其他集合(如)时,则记号中“U”也必须换成相应的集合(即)4.集合基本运算的一些结论:若AB=A,则,反之也成立若AB=B,则,反之也成立若x(AB),则xA且xB若x(AB),则xA,或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一:集合间的关系例1. 请判断00 ;,正确的有哪些?【答案】【解析】错误,因为0是集合中的元素,应是;中都是元素与集合的关系,正确;正确,因为是任何集合的子集,是任何非空集合的
4、真子集,而中的为非空集合;错误,是没有任何元素的集合【总结升华】集合的符号语言十分简洁,因而被广泛用于现代数学之中,但往往容易混淆,其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系,突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三:【变式1】用适当的符号填空:(1) x|x|1 x|x21;(2)y|y=2x2 y|y=3x2-1; (3)x|x|1 x|x1;(4)(x,y)|-2x2 (x,y)|-1x2【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【总结升华】区分元素与集合间的关系,集合与集合间的关系.例2.(2015秋 确山县期中)已知A=xx24=0,B=xax6=0,且B是A的子集(1)求a的取值集合M;(2)写出集合M的所有非空真子集【思路点拨】对(1)根据A集合中的元素,分类讨论B的可能情况,再注解a,写出集合M根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n1,求解(2)【答案】(1)M=0,3,3;(2)0,3,3,0,3,0,3,3,3【解析】(1)A=2,2B是A的子集,B=,2,2,B=时,方程ax6=0无解,得a=0;B=2时,方程ax6=0的解为x=2,得2a6=0,
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