【9A文】精选高中数学数列分类典型试题及答案
14页1、【MeiWei_81重点借鉴文档】精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列满足.(1)求;(2)证明:.解:(1).(2)证明:由已知,故,所以证得.例题2.数列的前项和记为()求的通项公式;()等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求.解:()由可得,两式相减得:,又故是首项为1,公比为3的等比数列()设的公比为,由得,可得,可得故可设,又,由题意可得,解得等差数列的各项为正,例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同,且对任意的都成立,数列是等差数列.求数列与的通项公式;是否存在,使得,请说明理由.点拨:(1)左边相当于是数列前n项和的形式,可以联想到已知求的方法,当时,.(2)把看作一个函数,利用函数的思想方法来研究的取值情况.解:(1)已知)时,)得,求得,在中令,可得得,所以NR).由题意,所以,数列的公差为,).(2),当时,单调递增,且,所以时,又,所以,不存在,使得.例题4.设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1
2、=1,b1=2,a2=3,求通项an,bn解:依题意得:2bn+1=an+1+an+2a2n+1=bnbn+1an、bn为正数,由得,代入并同除以得:,为等差数列b1=2,a2=3,当n2时,又a1=1,当n=1时成立,2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列的前项和为,且.(1)求、的值及数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.解:(1)时,.而为等比数列,得,又,得,从而.又.(2),),得,.例题6.数列是首项为1000,公比为的等比数列,数列满足,(1)求数列的前项和的最大值;(2)求数列的前项和.解:(1)由题意:,数列是首项为3,公差为的等差数列,由,得,数列的前项和的最大值为.(2)由(1)当时,当时,当时,当时,.例题7.已知递增的等比数列满足,且是,的等差中项.(1)求的通项公式;(2)若,求使成立的的最小值.解:(1)设等比数列的公比为q(q1),由a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得:a1=2,q=2或a1=32,q=(舍)an=22(n1)=2n(2),Sn=(12+222+323+n2n)2Sn=(122+223+n2
3、n+1),Sn=2+22+23+2nn2n+1=(n1)2n+12,若Sn+n2n+130成立,则2n+132,故n4,n的最小值为5.例题8.已知数列的前n项和为Sn,且成等差数列,.函数.(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足,记数列的前n项和为Tn,试比较的大小.解:(I)成等差数列,当时,.得:,当n=1时,由得,又是以1为首项3为公比的等比数列,(II),比较的大小,只需比较与312的大小即可.当时,当时,当时,.3.研究生成数列的性质例题9.(I)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;(II)设、是公比不相等的两个等比数列,证明数列不是等比数列.解:()因为cn+1pcn是等比数列,故有(cn+1pcn)2=(cn+2pcn+1)(cnpcn1),将cn=2n3n代入上式,得2n1+3n1p(2n3n)2=2n2+3n2p(2n+13n+1)2n+3np(2n13n1),即(2p)2n+(3p)3n2=(2p)2n+1+(3p)3n+1(2p)2n1+(3p)3n1,整理得(2p)(3p)2n3n=0,解得p=2或p=3.()设an、bn的公比分别为p、q,pq,c
4、n=an+bn.为证cn不是等比数列只需证c1c3.事实上,=(a1pb1q)2=p2q22a1b1pq,c1c3=(a1b1)(a1p2b1q2)=p2q2a1b1(p2q2).由于pq,p2q22pq,又a1、b1不为零,因此c1c3,故cn不是等比数列.例题10.n2(n4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等已知a24=1,求S=a11+a22+a33+ann解:设数列的公差为d,数列(i=1,2,3,n)的公比为q则=a11+(k1)d,akk=a11+(k1)dqk1依题意得:,解得:a11=d=q=又n2个数都是正数,a11=d=q=,akk=,两式相减得:例题11.已知函数的图象经过点和,记(1)求数列的通项公式;(2)设,若,求的最小值;(3)求使不等式对一切均成立的最大实数.解:(1)由题意得,解得,(2)由(1)得,得.,设,则由得随的增大而减小时,又恒成立,(3)由题意得恒成立记,则是随的增大而增大的最小值为,即.(二)证明等差与等比数列1.转化为等差等比数列.例题12.数列中,且满足,.求数列的通项公式;设,求;
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