【9A文】历年初中数学竞赛试题精选

1、【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位 数可以被（ ）整除。 A.111B.1000C.1001D.1111 解：依题意设六位数为abcabc，则 abcabca105b104c103a102b10ca102（1031） b10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031） 1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。 故选 C 方法二：代入法 2、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S，则 S 的整数部分是_ 解：因 1981、198220RR 均大于 1980，所以90 22 1980 1980 1 22 1 S，又 1980、198120RR 均小于 20RR，所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S，从而知 S 的整数部分为 90。 3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都 是关闭

2、状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一 下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生 进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以 那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该 店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A.m(1+a%)(1-b%)元B.ma%(1-b%)元 C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售 价的

3、b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。 应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 |abc abc c c b b a a 的所有可能 的值为（ ） A.0B.1 或-1C.2 或-2D.0 或-2 解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； 当 a，b，c 为两负一正时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由知 |abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0。 应选 A 6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则 bc a ba c 的值为（ ） A. 2 1 B. 2 2 C.1D.2 解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB 2 C ，AD C 2 3 。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a 2 C ）2b2 4 3

4、 C2，整理得 a2c2=b2ac，从而有1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 7、设 ab0，a2+b2=4ab，则 ba ba 的值为（ ） A.3B.6C.2D.3 解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab，若两个三角形的最小内角相等，则 b a 的值等于（ ） A. 2 13 B. 2 15 C. 2 23 D. 2 25 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A.0B.1C.3D.5 8、若函数)0(kkxy与函数 x y 1 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 R 轴于 B， 则ABC 的面积为（ ） A.1B.2C.kD.k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与 60 A B C D A B C D P 图 8-1 图 8-2 AD CB EF 图 8-3 图 8-4 A BC D AD C F C B E A B B D C 图 8-5 E A 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWe

5、i_81 重点借鉴文档】 2 ba 的大小关系是 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB， 则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如 （3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边 的长 4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北 面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的 夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么 甲楼的影子落在乙楼上有多高？如 果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离 应当是米。 6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的 一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6， 则 PB 图 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8-7 图 8-8 B A C P 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 三、解答题 1、如

6、图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线， 求证：AD 2 1 （AB+AC） 2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大 边长度在哪个范围内变化？ 3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形 CEDF 是正方形。 CD22AEBF 4、从 1、2、3、4、20RR 中任选 k 个数，使所选 的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个 数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足 条件的 k 的最小值是多少？ 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8）参考答案）参考答案 一、选择题 1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。 显然 DGEF 2 1 AB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有 CDDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。 2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得 AE16，DE83，于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中， 可求得 BC33，CE63，于是 CDD

7、ECE23 BCCD53。 3、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF AD+AE+FDEB+BC+CF11)( 2 1 CDBCABAD EFBC，EFAD， FC DF EB AE 设k FC DF EB AE ， 1 4 11 6 1 k k CD k k DF k k AB k k AE， AD+AE+FD3+ 1 313 1 4 1 6 k k k k k k 11 1 313 k k 解得 k4 作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GFHCAD3，BHBCCH9-36 5 4 AB AE BH EG ， 5 24 5 4 BHEG 5 39 3 5 24 GFEGEF 4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是 A B D C 图 8-9 A C F B D E 图 8-10 A B C D PE F G 60 A B C D E AD CB EF H G 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270， ABC135与 ABC18

8、0矛盾。故 、 不可能都是锐角，假设 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 AB90， CA90，A(ABC)b，故 A 是ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角 形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC 等腰CBD，从而得 BC BD AB BC ，即 b ba a b ，令 b a x ， 即得方程01 2 xx，解得 2 15 b a x。选 B。 7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝 角的个数不能超过 3 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。 8、A。设点 A 的坐标为（yx，） ，则1xy，故ABO 的面积为 2 1 2 1 xy，又因为 ABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别 为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分 别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结 MP、PN，则 MP 2 a ，NP 2 b ，显然恒有 2 ba d ， 当 ADBC，由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点 共线，此时有 2 ba d ，所以d与 2 ba 的大小关系是 ) 2 ( 2 d baba d 或。 2、12。设BAC 的度数为 R，ABBBBBD2R，CBD4R Q A B C D A B D C P M N 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 ABAA AABABACBD4R AAB)180( 2 1 x 18044)180( 2 1 xxx，于是可解出 R12。 3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+71

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