【8A版】四年级奥林匹克数学基础资料库 第8讲 找规律(二)
3页1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第8讲找规律(二)整数a与它本身的乘积,即aa叫做这个数的平方,记作a2,即a2aa;同样,三个a的乘积叫做a的三次方,记作a3,即a3aaa。一般地,n个a相乘,叫做a的n次方,记作an,即本讲主要讲an的个位数的变化规律,以及an除以某数所得余数的变化规律。因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关,所以an的个位数只与a的个位数有关,而a的个位数只有0,1,2,9共十种情况,故我们只需讨论这十种情况。为了找出一个整数a自乘n次后,乘积的个位数字的变化规律,我们列出下页的表格,看看a,a2,a3,a4,的个位数字各是什么。从表看出,an的个位数字的变化规律可分为三类:(1)当a的个位数是0,1,5,6时,an的个位数仍然是0,1,5,6。(2)当a的个位数是4,9时,随着n的增大,an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时,按4,6的顺序循环出现;a的个位数是9时,按9,1的顺序循环出现。(3)当a的个位数是2,3,7,8时,随着n的增大,an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时,按2,4,8,6的顺序
2、循环出现;a的个位数是3时,按3,9,7,1的顺序循环出现;当a的个位数是7时,按7,9,3,1的顺序循环出现;当a的个位数是8时,按8,4,2,6的顺序循环出现。例1求67999的个位数字。分析与解:因为67的个位数是7,所以67n的个位数随着n的增大,按7,9,3,1四个数的顺序循环出现。99942493,所以67999的个位数字与73的个位数字相同,即67999的个位数字是3。例2求291+3291的个位数字。分析与解:因为2n的个位数字按2,4,8,6四个数的顺序循环出现,914223,所以,291的个位数字与23的个位数字相同,等于8。类似地,3n的个位数字按3,9,7,1四个数的顺序循环出现,2914723,所以3291与33的个位数相同,等于7。最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同,等于5。例3求28128-2929的个位数字。解:由128432知,28128的个位数与84的个位数相同,等于6。由292141知,2929的个位数与91的个位数相同,等于9。因为69,在减法中需向十位借位,所以所求个位数字为1697。例4求下列各除法运算所得的余数:(1)
3、78555;(2)5553。分析与解:(1)由554133知,7855的个位数与83的个位数相同,等于2,所以7855可分解为10a2。因为10a能被5整除,所以7855除以5的余数是2。(2)因为a3的余数不仅仅与a的个位数有关,所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n3的余数的规律,先将5的各次方除以3的余数列表如下:注意:表中除以3的余数并不需要计算出5n,然后再除以3去求,而是用上次的余数乘以5后,再除以3去求。比如,52除以3的余数是1,53除以3的余数与15=5除以3的余数相同。这是因为5238+1,其中38能被3整除,而53=(38+1)5=(38)5+15,(38)5能被3整除,所以53除以3的余数与15除以3的余数相同。由上表看出,5n除以3的余数,随着n的增大,按2,1的顺序循环出现。由552=271知,5553的余数与513的余数相同,等于2。例5某种细菌每小时分裂一次,每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后,将这些细菌每7个分为一组,还剩下几个细菌?分析与解:1时后有13=31(个)细菌,2时后有313=32(个)细菌20时后,有320个细菌,所以本题相当于“求3207的余数”。由例4(2)的方法,将3的各次方除以7的余数列表如下:由上表看出,3n7的余数以六个数为周期循环出现。由20632知,3207的余数与327的余数相同,等于2。所以最后还剩2个细菌。最后再说明一点,anb所得余数,随着n的增大,必然会出现周期性变化规律,因为所得余数必然小于b,所以在b个数以内必会重复出现。练习81求下列各数的个位数字:(1)3838;(2)2930;(3)6431;(4)17215。2求下列各式运算结果的个位数字:(1)92225731;(2)615+487+349;(3)469-6211;(4)3748+59610。3求下列各除法算式所得的余数:(1)51004;(2)81116;(3)4887。【MeiWei_81重点借鉴文档】
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