【8A版】四年级奥林匹克数学基础资料库 第17讲 数阵图(二)
4页1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第17讲数阵图(二)例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。解:由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为R,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数(含R)。因为九个数都不大于12,由16R12知4R,由R+212知R10,即4R10。考虑到5,7,9已填好,所以R只能取4,6,8或10。经验证,当R6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当R4或10时可得两个解(见下图)。这两个解实际上一样,只是方向不同而已。例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明:设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2db,右下角的数为2d-c(见下图)。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d-c-(2d-b)3d-a-(2d-c),3d-c-2db3d-a-2dc,dcbdac,2cab,abc2。值得注意
2、的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。解:由上一讲例4知,中心数为90330;由本讲例2知,右上角的数为(2357)240(见左下图)。其它数依次可填(见右下图)。例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。解:由例2知,右下角的数为(810)2=9;由上一讲例4知,中心数为(59)2=7(见左下图),且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于73=21。由此可得右下图的填法。例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。解:由例2知,右下角的数为(612)2=9(左下图)。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”(106)-97。其它依次可填(见右下图)。由例35看出,在解答33方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处。练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求R。4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。【MeiWei_81重点借鉴文档】
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