必修四平面向量基本定理(附答案.)
13页1、平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义.2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.(2)基底:把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考如图所示,e1,e2是两个不共线的向量,试用e1,e2表示向量,a.答案通过观察,可得:2e13e2,e14e2,4e14e2,2e15e2,2e15e2,a2e1.知识点二两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个非零向量a和b,如图,作a,b,则AOB (0180),叫做向量a与b的夹角范围:向量a与b的夹角的范围是0,180当0时,a与b同向当180时,a与b反向(2)垂直:如果a与b的夹角是90,则称a与b垂直,记作ab.思考在等边三角形ABC中,试写出下面向量的夹角、;、;、;、.答案与的夹角为60;与的夹角为120;与的夹角为60;与的夹角为180.题型一对向量的
2、基底认识例1如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量;对于平面内任一向量a,使ae1e2的实数对(,)有无穷多个;若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个实数,使得1e11e2(2e12e2);若存在实数,使得e1e20,则0.答案解析由平面向量基本定理可知,是正确的对于,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的对于,当两向量的系数均为零,即12120时,这样的有无数个跟踪训练1设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:e1与e1e2;e12e2与e22e1;e12e2与4e22e1;e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)答案解析对于4e22e12e14e22(e12e2),e12e2与4e22e1共线,不能作为基底题型二用基底表示向量例2如图所示,已知ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的中点,若a,b,试以a、b为基底表示、.解四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC、DC边上的中点,2,2
3、,b,a.babab,ba.跟踪训练2如图,已知ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若a,b,用a、b表示、.解a(ba)ab;a(ba)ab;a(ba)ab.题型三向量夹角问题例3已知|a|b|2,且a与b的夹角为60,设ab与a的夹角为,ab与a的夹角是,求.解如图,作a,b,且AOB60,以OA、OB为邻边作OACB,则ab,ab,a.因为|a|b|2,所以OAB为正三角形,所以OAB60ABC,即ab与a的夹角60.因为|a|b|,所以平行四边形OACB为菱形,所以OCAB,所以COA906030,即ab与a的夹角30,所以90.跟踪训练3若a0,b0,且|a|b|ab|,求a与ab的夹角解由向量运算的几何意义知ab,ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如图,|a|b|ab|,BOA60.又ab,且在菱形OACB中,对角线OC平分BOA,a与ab的夹角是30.题型四平面向量基本定理的应用例4如图所示,在OAB中,a,b,点M是AB上靠近B的一个三等分点,点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P,求.解()ab,因为与共线,故可设tab.又与共线
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