【9A文】同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解=2(-4)3+0(-1)(-1)+118-013-2(-1)8-1(-4)(-1)=-24+8+16-4=-4.(2);解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=R(R+R)R+RR(R+R)+(R+R)RR-R3-(R+R)3-R3=3RR(R+R)-R3-3R2R-R3-R3-R3=-2(R3+R3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2n-1)24(2n);解逆序数为:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)13(2n-1)(

2、2n)(2n-2)2.解逆序数为n(n-1):32(1个)52,54(2个)(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1);解.(2);解.(3);解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:(1)=(a-b)3;证明=(a-b)3.(2);证明.(3);证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d

3、);证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=Rn+a1Rn-1+an-1R+an.证明用数学归纳法证明.当n=2时,命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=Rn-1+a1Rn-2+an-2R+an-1,则Dn按第一列展开,有=RDn-1+an=Rn+a1Rn-1+an-1R+an.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得,证明,D3=D.证明因为D=det(aij),所以.同理可证.7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=R+(n-1)a(R-a)n-1.(3);解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式.(4);解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n

4、-2.于是.而,所以.(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;解aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2an0.解.8.用克莱姆法则解下列方程组:(1);解因为,所以,.(2).解因为,所以,.9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为.令D=0,得m=0或l=1.于是,当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.令D=0,得l=0,l=2或l=3.于是,当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:,求从变量R1,R2,R3到变量R1,R2,R3的线性变换.解由已知:,故,.2.已知两个线性变换,求从z1,z2,z3到R1,R2,R3的线性变换.解由已知,所以有.3.设,求3AB-2A及ATB.解,.4.计算下列乘积:(1);解.(2);解=(13+22+31)=(10).(3);解.(4);解.(5);解=(a1

5、1R1+a12R2+a13R3a12R1+a22R2+a23R3a13R1+a23R2+a33R3).5.设,问:(1)AB=BA吗?解ABBA.因为,所以ABBA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?解(A+B)2A2+2AB+B2.因为,但,所以(A+B)2A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解(A+B)(A-B)A2-B2.因为,而,故(A+B)(A-B)A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0,则A=0;解取,则A2=0,但A0.(2)若A2=A,则A=0或A=E;解取,则A2=A,但A0且AE.(3)若AR=AR,且A0,则R=R.解取,则AR=AR,且A0,但RR.7.设,求A2,A3,Ak.解,.8.设,求Ak.解首先观察,.用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是

6、对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性:因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因为,故.(2);解.|A|=10,故A-1存在.因为,所以.(3);解.|A|=20,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2an0).解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:(1);解.(2);解.(3);解.(4).解.13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解方程组可表示为,故,从而有.(2).解方程组可表示为,故,故有.14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=

7、(E-A)+(A-A2)+A2-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推论知(A+2E)可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A|A-E|=2,故|A|0,所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=OA(A-E)=2EA-1A(A-E)=2A-1E,又由A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,.16.设A为3阶

8、矩阵,求|(2A)-1-5AR|.解因为,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵AR也可逆,且(AR)-1=(A-1)R.证明由,得AR=|A|A-1,所以当A可逆时,有|AR|=|A|n|A-1|=|A|n-10,从而AR也可逆.因为AR=|A|A-1,所以(AR)-1=|A|-1A.又,所以(AR)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)R=(A-1)R.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为AR,证明:(1)若|A|=0,则|AR|=0;(2)|AR|=|A|n-1.证明(1)用反证法证明.假设|AR|0,则有AR(AR)-1=E,由此得A=AAR(AR)-1=|A|E(AR)-1=O,所以AR=O,这与|AR|0矛盾，故当|A|=0时,有|AR|=0.(2)由于,则AAR=|A|E,取行列式得到|A|AR|=|A|n.若|A|0,则|AR|=|A|n-1;若|A|=0,由(1)知|AR|=0,此时命题也成立.因此|AR|=|A|n-1.19.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.20.设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B

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