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【AAA】等比数列知识点总结与典型例题+答案

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  • 卖家[上传人]:Jerm****014
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    • 1、【MeiWei_81重点借鉴文档】等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:,称为公比2、通项公式:,首项:;公比:推广:3、等比中项:(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(2)数列是等比数列4、等比数列的前项和公式:(1)当时,(2)当时,(为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的,都有为等比数列(2)等比中项:为等比数列(3)通项公式:为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若或为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何,在等比数列中,有。(3)若,则。特别的,当时,得注:等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义递推公式;通项公式()中项()()前项和重要性质经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.总结升华:列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形

      2、要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【变式2】an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列,若,求。类型二:等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知:an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【变式3】在等比数列中,求和。类型三:等比数列的性质例3.等比数列中,若,求.举一反三:【变式1】正项等比数列中,若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2,S4=1,则S8=_.【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn,且S10

      3、=10,S20=40,求:S30=?【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_.【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。类型五:等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,R,RR。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27

      4、,它们的平方和为91,求这三个数。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式,并判断an是何种数列?思路点拨:由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断an类型.举一反三:【变式1】已知数列Cn,其中Cn=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列,求常数p。【答案】p=2或p=3;【证明】设数列an、bn的公比分别为p,q,且pq【变式3】判断正误:(1)an为等比数列a7=a3a4;(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;(3)an,bn均为等比数列,则anbn为等比数列;(4)an是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列;(5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差.类型七:Sn与an的关系例7已知正项数列an,其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an.总结升华:等比数列中通项与求和公式

      5、间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三:【变式】命题1:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列;命题2:若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.解析:法一:设此数列公比为,则由(2)得:.(3).由(1)得:,.(4)(3)(4)得:,,解得或当时,;当时,.法二:,又,、为方程的两实数根,或,或.总结升华:列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【答案】96法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,q=2,a6=96;法二:a52=a1a9a5=48q=2,a6=96。【变式2】an为等比数

      6、列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;,又an0,a45=4。【变式3】已知等比数列,若,求。【答案】或;法一:,从而解之得,或,当时,;当时,。故或。法二:由等比数列的定义知,代入已知得将代入(1)得,解得或由(2)得或,以下同方法一。类型二:等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】;,。【变式2】已知:an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【答案】;,则a1=1或a1=9.【变式3】在等比数列中,求和。【答案】或2,;,解方程组,得或将代入,得,由,解得;将代入,得,由,解得。或2,。类型三:等比数列的性质例3.等比数列中,若,求.解析:是等比数列,举一反三:【变式1】正项等比数

      7、列中,若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100;lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。【答案】216;法一:设这个等比数列为,其公比为,。法二:设这个等比数列为,公比为,则,加入的三项分别为,由题意,也成等比数列,故,。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。解析:法一:令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an),b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比数列,S3n=b3+

      8、S2n=3+60=63.法二:,由已知得得,即代入得,。法三:为等比数列,也成等比数列,。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2,S4=1,则S8=_.【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:S30=?【答案】130;法一:S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20)即302=10(S30-40),S30=130.法二:2S10S20,,.【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【答案】,(否则)=80.(1)=6560.(2),(2)(1)得:1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数,由(3)知q1an为递增数列,an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得,q=3,n=4.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_.【答案】4;令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1

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