2010年全国硕士分析研究生入学统一考试.数学三试题'及其答案解析
12页1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若,则等于()()()() (2) 设,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数, 使是该方程的解,是对应的齐次方程的解, 则(A) (B) (C) (D) (3)设函数具有二阶导数,且。若是的极值,则在取极大值的一个充分条件是(A) (B) (C) (D) (4)设,则当充分大时有(A) . (B) . (C). (D). (5) 设向量组可由向量组线性表示, 则列命题正确的是 (A) 若向量组线性无关, 则 (B) 若向量组线性相关, 则 (C) 若向量组线性无关, 则 (D) 若向量组线性相关, 则 (6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C) (D) (7) 设随机变量的分布函数,则(A) 0 (B) 1 (C)(D) (8) 设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,为概率密度,则应满足(A) (B) (C) (D) 二、填空题(9-14小题,每小题4分
2、,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设可导函数由方程确定,则(10)设位于曲线下方, 轴上方的无界区域为, 则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为。(11)设某商品的收益函数为,收益弹性为, 其中为价格, 且, 则(12)若曲线有拐点, 则。 (13) 设为3阶矩阵, 且则(14)设是来自总体的简单随机样本。记统计量,则。 三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分10分) 计算二重积分,其中由曲线与直线及围成.(17)(本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值 . (18) (本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由。(2)记求极限。(19)(本题满分10分) 设函数在闭区间上连续, 在开区间内存在二阶导数, 且 (I) 证明存在, 使得;(II) 证明存在, 使得。 (20) (本题满分11分)设,已知线性方程组存在两个不同的解.(1) 求;(2) 求方程组的通解. (21) (本题满分11分)设,正交矩阵使得为对角矩阵.若的第一列为,求.
3、(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为,求常数以及条件概率密度。 (23) (本题满分11分) 箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记为取出红球的个数, 为取出白球的个数 . (I) 求随机变量的概率分布; (II) 求. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限,进而解出a.【详解】由于从而由题设可得,即,故应选(C) (2) 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构【详解】因为,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解,所以 -(1)由于是该方程的解,则即 将(1)代入上式可得:(2) 由于 是对应的齐次方程的解 则,即 将(1)代入上式可得:(3)由(2)、(3)可得。故应选(A)评注:设是一阶线性非齐次微分方程的解,则对于常数,有下列结论: 若,则是方程的解; 若,则是方程的解。(3)【分析】本题主要考查导数的应用.求的一、二
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