金融工程专题——金融衍生产品定价的数值方法

1、金融工程专题 金融衍生产品定价的数值方法,李志生 中南财经政法大学 新华金融保险学院,2,2019/7/15,数值方法分类,金融定价中的数值方法 Numerical Methods in Finance,Monte Carlo模拟 Monte Carlo Simulation,有限差分 Finite Difference Methods,二叉树 Binomial Trees,3,2019/7/15,二叉树模型简介,John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：229-263,4,2019/7/15,二叉树模型实例,问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18 执行价格K=￥20、有效期T=3个月的欧式看涨期权的当前价格f0是多少？,ST= ￥22,ST= ￥18,S0= ￥20,fT=￥2,fT=￥0,看涨期权的到期价值 当ST20时

2、，执行权利： 当ST 20时，放弃权利：,fT=ST-20,fT=0,欧式看涨期权,5,2019/7/15,二叉树模型实例,问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18 有效期为3个月的欧式看涨期权的执行价格K=￥20。如何求上述看涨期权的价格f0？,净现值定价法：资产的价格等于其期望现金流的现值 概率：ST=￥22和ST=￥18的概率分别为0.8和0.2 贴现率：无风险年利率为12？,ST= ￥22,ST= ￥18,S0= ￥20,fT=￥2,fT=￥0,f0=,?,0.8,0.2,EfT=1.6,=,f0=1.6e-0.0120.25,?,6,2019/7/15,二叉树模型实例,思路：构造一个由股票和看涨期权组成的投资组合，使该组合在3个月末的价值是确定的，这样该组合就复制了无风险资产的现金流！ 假设买入股股票同时卖出一份看涨期权 组合在3个月末的价值为： 为了复制无风险资产：22-2=18,ST= ￥22,ST= ￥18,S0= ￥20,fT= ￥2,fT= ￥0,STD-fT,= =0.5,f0=？,7,2019/7/15,二

3、叉树模型实例,上述组合终值恒为￥9 无套利原理：无风险组合的收益率应为无风险利率, 组合的现值为：9e-0.120.25=￥8.734(无风险利率=12%) 净现值定价法：资产的价格等于其期望收益的现值,ST= ￥22,ST= ￥18,S0= ￥20,fT= ￥2,fT= ￥0,Go,= f0=￥1.266,200.5-f0,f0=？,=8.734,8,2019/7/15,二叉树模型基本思想,假设基础资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，在每个小的时间间隔内资产的价格只有两种运动的可能：上升或者下降,通过现金流再造技术和无套利原理求解衍生证券的价格,9,2019/7/15,二叉树模型基本思想,10,2019/7/15,二叉树模型基本思想,单期树,二期树,n期树,正态分布,11,2019/7/15,二叉树模型基本思想,时间跨度：t,0.5,0.5,1,-1,当 时，根据中心极限定理， 趋向于布朗运动,特征1： 服从标准正态分布 特征2：对任意不同时间间隔Dt，Dz相互独立,12,2019/7/15,二叉树模型一般方法,组合：买入份基础证券同时卖出1份衍生证券 (1) 如基础证券价格

4、上升，组合终值为：S0u-fu (2) 如基础证券价格下降，组合终值为：S0d-fd 当(1)、(2)价值相等时 S0u-fu =S0d-fd,基础证券: S0u,基础证券: S0d,基础证券: S0,衍生证券: fu,衍生证券: fd,衍生证券: f ?,13,2019/7/15,二叉树模型一般方法,若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为 组合的成本应该等于其现值,衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率,14,2019/7/15,二叉树模型一般方法,公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率 我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值 基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在其价格中,基础证券: S0u,基础证券: S0d,基础证券: S0,P,15,2019/7/15,二叉树模型推广,变量p可以解释为基础证券价格上升的概率，1-p则为基础证券价格下降的概率 衍生证券未来价值的期望可表示为：pfu(1p)fd,衍生证券的价值是其未来期望价值按无风险利率贴现得到的现值,未来期望价值,16,2019/7/15,二叉树模型推广,时基础证

5、券未来的期望价格 E(ST)pS0u(1p)S0d pS0 (ud)S0d S0erT 基础证券的价格以无风险利率增长 设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础证券的收益率等于无风险利率,？,17,2019/7/15,二叉树模型风险中性定价,风险中性世界（risk-neutral world） 投资者对风险采取无所谓的态度 所有资产的期望收益率都是无风险利率 资产的价格可以用其期望值按无风险利率贴现 风险中性定价与无套利均衡 无套利均衡分析的过程和结果与投资者的风险偏好程度无关,如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立,18,2019/7/15,二叉树模型风险中性定价,例子： 在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利率12： 在三个月末，看涨期权价值为￥2的概率为0.6523，价值为￥0的概率为0.3477，因此其期望值为： 按无风险利率贴现得期权现在的价值：,Bc,19,2019/7/15,二叉树模型-参数估计,风险中性世界 t内的均值： t内的方差： 附加条件 (1) (2

6、),基础证券波动率s，不支付红利，无风险收益率r,20,2019/7/15,多期二叉树,S0u3d , 4p3q,S0u4, p4,S0ud3 , 4pq3,S0d4 , q4,S0, 1,S0u, p,S0d, q,S0ud, 2pq,S0u2d2 , 6p2q2,S0u2, p2,S0d2, q2,S0u3, p3,S0u2d, 3p2q,S0ud2 , 3pq2,S0d3 , q3,21,2019/7/15,衍生证券的价格,S0uT-1d , CT1pT-1q,S0uT, pT,S0udT-1, CTT-1pqT-1,S0dT , qT,S0, 1,S0u, p,S0d, q,S0ud, 2pq,S0u2, p2,S0d2, q2, ,执行远期和约： 执行看涨期权： 执行看跌期权：,22,2019/7/15,衍生证券的价格期权,看涨期权（欧式、美式） 欧式看跌期权 美式看跌期权,按照以上算法，只要给定 fT, 0 fT, T ，就可以通过逆推的法则求出美式看跌期权在当前时间的价格f0, 0,Go,23,2019/7/15,衍生证券的价格期权,例子：S0300；K300；r8%；

7、q0%；s30%；T4m 求解思路： 把4个月分为4个周期 设定u1/d,24,2019/7/15,衍生证券的价格期权,欧（美）式看涨期权,25,2019/7/15,衍生证券的价格期权,15.49,26.63,5.27,0.00,10.99,43.74,66.65,22.90,0.00,0.00,欧式看跌期权,26,2019/7/15,衍生证券的价格期权,16.87,29.03,5.73,0.00,11.95,47.71,68.64,24.89,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,47.71,87.83,美式看跌期权,27,2019/7/15,衍生证券的价格期权,精度分析,28,2019/7/15,衍生证券的价格远期,远期和约（多头）的价格 在时间t时卖出期货（平仓） 在时间t时等待 最优策略：,29,2019/7/15,衍生证券的价格远期,远期合约（多头）,30,2019/7/15,衍生证券的价格,支付已知红利的证券的衍生工具的价格,S0,S0u,S0d,S0ud-D,S0u2-D,S0d2-D,31,2019/7/15,衍生证券的价格,支付连续红利的证券的衍生工具的价

8、格,基础证券波动率s，红利收益率q，无风险收益率r,32,2019/7/15,奇异期权,亚式看涨期权 f=mean路径 -K,33,2019/7/15,奇异期权,障碍期权，knockin，B360 （路径达到设置障碍有效）,34,2019/7/15,奇异期权,障碍期权，knockout，B360（路径没有达到设置障碍有效）,35,2019/7/15,奇异期权,回溯期权 f=max路径-K,BC,36,2019/7/15,百慕大期权,标准的百慕大权证通常在权证上市日和到期日之间多设定一个行权日,取名“百慕大”是因为百慕大位于美国本土与夏威夷之间。.欧式期权只能在到期日执行,而美式期权可以在期权有效期内任何时间执行。百慕大式期权介于两者之间,可以在期权有效期内设置几个行权日.,37,2019/7/15,基本框架,金融学中的数值方法 Numerical Methods in Finance,Monte Carlo模拟 Monte Carlo Simulation,有限差分 Finite difference methods,二叉树 Binomial Trees,38,2019/7/15,Mo

9、nte Carlo模拟,求圆周率p,建立一个原点在圆心的坐标系，在坐标系中画出与该圆外切的正方形，产生N个随机数组（Xi，Yi），那么这些点会均匀得分布在第一象限的正方形区域内，如果有M个点分布在圆内，那么圆在第一象限内的面积S就为M/N，所以=4M/N,r,39,2019/7/15,Monte Carlo模拟,Monte Carlo模拟定价法 通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到衍生证券价值期望值的数值方法 基本思路 衍生证券的价值都可以归结为衍生证券到期收益的期望值的现值；而衍生证券的到期收益取决于基础证券的到期价格和衍生证券的类型 尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径；计算每种路径结果下的衍生证券回报的平均值，通过贴现即可得到衍生证券的价格,40,2019/7/15,证券价格变化的连续模型,马尔科夫过程(Markov Process) 马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程 如果一个变量服从马尔科夫过程，那么只有变量的当前值与未来的预测值有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测值无关,如果证券价格服从马尔科夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格,41,2019/7/15,证券价格变化的连续模型,弱式有效市场与马尔科夫过程 弱式有效市场 证券的价格包含了全部的历史信息 弱式有效市场中证券的价格可以用马尔科夫随机过程来表述 一种证券的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,42,2019/7/15,证券价格变化的连续模型,布朗运动（Brownian motion） 马尔科夫过程的一种特殊形式 标准布朗运动 z是一个随机变量， Dt代表一个小的时间间隔长度，Dz表示在Dt时间内z的变化。如果z服从标准布朗过程，Dz须满足两个基本特征： 特征1： 服从标准正态分布(均值为0、标准差为1.0)

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