2018年高考数学（文）二轮复习习题：第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训9

1、专题限时集训专题限时集训(九九) 空间几何体表面积或体积的求解空间几何体表面积或体积的求解 建议 A、B 组各用时：45 分钟 A 组组 高考达标高考达标 一、选择题 1(2017唐山一模)一个几何体的三视图如图 913 所示，则其体积为( ) 图 913 A2 B24 C4 D22 A 该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆柱，其体积 V 212 1222.故选 A. 1 2 1 2 2已知三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各 条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为( ) A1 B123 23 C123 D1827 23 C 设正方体的棱长为 a，则其内切球半径 R1 ；棱切球直径为正方体各面 a 2 上的对角线长，则半径 R2a；外接球直径为正方体的体对角线长，所以半 2 2 径 R3a，所以这三个球的体积之比为 13()3()3123.故选 3 22323 C. 3(2016郑州一模)一个几何体的三视图如图 914 所示，且其侧视图是一个等边三 角形，则这个几何体的体积为( ) 【导学号：04024089】 图 914 A.

2、B 4 3 3 5 3 3 C2 D 3 8 3 3 B 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥 PABCDE，体积 V 1 3 ，故选 B. ( 1 2 2 122) 3 5 3 3 4(2017郑州二模)刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵， 邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意思 是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿 斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 21，这个比率是不 变的如图 915 是一个阳马的三视图，则其表面积为( ) 图 915 A2 B2 2 C3 D3 32 B 由三视图可得该四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，有一条长度为 1 的侧 棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角形，侧面积为 2 112 11，底面积是 1，所以其表面积为 2，故 1 2 1 2222 选 B. 5(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图 916 所示，其中俯视图是正三 角形，则该几何体的体积为( ) 图 916 A. B2 33 C.3 D4 33 B 分析题意可知，该几何体是由如图

3、所示的三棱柱 ABCA1B1C1截去四棱锥 ABEDC 得到的，故其体积 V223 22，故选 B. 3 4 1 3 12 233 二、填空题 6(2017济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图 917 所示，则该几何体 的体积为_ 图 917 由三视图得该几何体是底面半径为 1，高为 2 的圆锥体的一半和一个底面 4 3 半径为 1，高为 2 的圆柱体的一半的组合体，所以其体积为 122 122. 1 2 1 3 1 2 4 3 7(2017呼和浩特一模)已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，ASAB1，BC，则球 O 的表面积为_. 3 【导学号：04024090】 5 因为 SA平面 ABC，ABBC，所以四面体 SABC 的外接球半径等于以 长、宽、高分别为 SA，AB，BC 三边长的长方体的外接球半径，因为 SAAB1，BC，所以 2R，则 R，故球 O 的 3AS2AB2BC25 5 2 表面积为 S4R25. 8已知三棱锥 PABC 的顶点 P，A，B，C 在球 O 的球面上，ABC 是边长为的 3 等边三角形，如果球 O 的表面积

4、为 36，那么 P 到平面 ABC 距离的最大值为 _ 32 依题意，边长是的等边ABC 的外接圆半径 r 1.球 23 1 2 3 sin 60 O 的表面积为 364R2， 球 O 的半径 R3，球心 O 到平面 ABC 的距离 d2，球面 R2r22 上的点 P 到平面 ABC 距离的最大值为 Rd32. 2 三、解答题 9(2016合肥二模)如图 918，P 为正方形 ABCD 外一点，PB平面 ABCD，PBAB2，E 为 PD 的中点 图 918 (1)求证：PACE； (2)求四棱锥 PABCD 的表面积 解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，则 EFADBC，即 EF，BC 共面 PB平面 ABCD，PBBC，又 BCAB 且 PBABB， BC平面 PAB，BCPA.3 分 PBAB，BFPA，又 BCBFB， PA平面 EFBC，PACE6 分 (2)设四棱锥 PABCD 的表面积为 S， PB平面 ABCD，PBCD，又 CDBC，PBBCB， CD平面 PBC，CDPC，即PCD 为直角三角形，8 分 由(1)知 BC平面 PAB，而 ADBC

5、，AD平面 PAB， 故 ADPA，即PAD 也为直角三角形 SABCD224， SPBCSPAB 222， 1 2 SPCDSPDA 22，10 分 1 222222 S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD 8412 分 2 10如图 919，一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器 厚度)若液面恰好分别过棱 AC，BC，B1C1，A1C1的中点 D，E，F，G. 图 919 (1)求证：平面 DEFG平面 ABB1A1； (2)当底面 ABC 水平放置时，求液面的高 【导学号：04024091】 解 (1)证明：因为 D，E 分别为棱 AC，BC 的中点，所以 DE 是ABC 的中位 线，所以 DEAB.又 DE平面 ABB1A1，AB平面 ABB1A1，所以 DE平面 ABB1A1.同理 DG平面 ABB1A1，又 DEDGD，所以平面 DEFG平面 ABB1A16 分 (2)当直三棱柱 ABCA1B1C1容器的侧面 AA1B1B 水平放置时，由(1)可知，液体 部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱 ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长 l，

6、当 底面 ABC 水平放置时，设液面的高为 h，ABC 的面积为 S，则由已知条件可 知，CDEABC，且 SCDE S，所以 S四边形 ABED S.9 分 1 4 3 4 由于两种状态下液体体积相等，所以 V液体ShS四边形 ABEDl Sl，即 h l. 3 4 3 4 因此，当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 l12 分 3 4 B 组组 名校冲刺名校冲刺 一、选择题 1(2017重庆二模)某几何体的三视图如图 920 所示，则该几何体的体积为( ) 图 920 A. B 2 3 4 3 C. D. 5 3 7 3 B 根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中 该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为 1,2，高为 1)；该三棱锥 的底面是一个直角三角形(腰长分别为 1,2，高为 1)，因此该几何体的体积为 211 211 ，选 B. 1 2 1 3 1 2 4 3 2(2016唐山二模)某几何体的三视图如图 921 所示，则该几何体的体积为( ) 图 921 A64 B4 C. D2 5 2 D 由三视图知，该几何体为一个底面半径为 1，高

7、为 1 的圆柱体，与底面半 径为 1，高为 2 的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为 121 1222，故选 D. 1 2 3(2017深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图 922 所示，则该几何体的体积为( ) 【导学号：04024092】 图 922 A24 B48 C72 D96 B 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为 6,4,4 的长方体被一个平面 截去所剩下的部分，如图所示，其中 C，G 均为长方体对应边的中点，该平面 恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为 V 64448，故选 B. 1 2 4(2017银川二模)点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ABBC，ABC90，若四面体 ABCD 体积的最大值为 3，则这个球的表 6 面积为( ) A2 B4 C8 D16 D 因为 SABC ()23 为定值，要使四面体 ABCD 的体积最大，只需点 1 26 D 到平面 ABC 的距离 h 最大由题意得 SABCh3，解得 h3，所以 h 的最 1 3 大值为 3.当 h 最大时，设 AC 的中点为 E，因为 ABBC，ABBC，所以

8、 AC2，DE平面 ABC，且球心在 DE 上设球的半径为 r，则 r2(3r) 3 2( )2，解得 r2，所以这个球的表面积为 4r242216，故选 D. 3 二、填空题 5(2016广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都 为 1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：04024093】 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1, 其高 h1，球 5 5 6 半径为 R，该球的体积 V R3 3 . r2(h 2)2 11 4 5 4 4 3 4 3 ( 5 4) 5 5 6 6如图 923，在三棱锥 ABCD 中，ACD 与BCD 都是边长为 4 的正三角形，且 平面 ACD平面 BCD，则该三棱锥外接球的表面积为_ 图 923 取 AB，CD 的中点分别为 E，F，连接 EF，AF，BF，由题意知 80 3 AFBF，AFBF2，EF，易知三棱锥的外接球球心 3 1 2 AF2BF26 O 在线段 EF 上， 所以 OEOF. 6 设外接球的半径为 R，连接 OA，OC，则有 R2AE2OE2，R2CF2OF2， 所以 AE2OE2CF2OF2，()2OE222OF2， 6 所以 OF2OE22， 又 OEOF，则 OF2 ，R2，所以该三棱锥外接球的表面积为 6 8 3 20 3 4R2. 80 3 三、解答题 7如图 924，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直，BADADC90， ABAD CD，BEDF. 1 2 图 924 (1)若 M 为 EA 中点，求证：AC平面 MDF； (2)若 AB2，求四棱锥 EABCD 的体积 解 (1)证明：设 EC 与 DF 交于点 N，连接 MN， 在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 中点， 因为 M 为 EA 中点，所以 MNAC2 分 又因为 AC平面 MDF，MN平面 MDF， 所以 AC平面 MDF6 分 (2)取 CD 中点为 G，连接 BG，EG， 平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDCD， AD平面 ABCD，ADCD， 所以 AD平面 CDEF，同理 ED平面 ABCD，7 分 所以 ED 的长即为四棱锥 EA

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