线性代数 线性变换
76页1、线性代数,第五章 线性变换,2,5.3 特征值与特征向量,一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换,对于数域 P 上一个数 0 ,如果存在一个非零向量 使得,则称 0 为 T 的一个特征值,非零向量 称为T 的属于0 的一个特征向量 .,一些基本性质: (1) 一个特征向量只能属于一个特征值,3,5.3 特征值与特征向量,(2) 如果 1 、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量,则当 1 + 2 0 时,1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量,(3) 如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量,则 的任何一个非零倍数 k 也是 T 的属于特征值0 的特征向量,属于特征值0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间,4,5.3 特征值与特征向量,记,定义5.6 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征子空间.,二 特征值与特征向量的求法,设 1, 2, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基,线性变换 T 在该基下的矩阵为A ,0 为 T 的一个特征值,属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为,因为,5
2、,5.3 特征值与特征向量,也即,求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题,存在的充要条件是:,6,5.3 特征值与特征向量,定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵, 为一个未知量,矩阵 E - A 的行列式,称为 A 的特征多项式,记为,的根称为 A 的特征根(或特征值),7,5.3 特征值与特征向量,的非零解称为 A 的特征向量 显然: 当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量,当0 为 A 的一个特征值时,方程,(称为特征方程组),8,5.3 特征值与特征向量,求矩阵的特征值与特征向量的步骤: (1) 计算矩阵 A 的特征多项式,(2) 由,得所有根,即为矩阵A的特征值,(3) 对 A 的不同特征值 i , 分别求解方程组,得基础解系,其线性组合,即为i 的全部特征向量。,不全部为零),(,9,5.3 特征值与特征向量,例 求矩阵,特征值与特征向量. 解:,A 特征值,10,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,即,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,11,5
3、.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,12,5.3 特征值与特征向量,例 设 1, 2, 3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基,线性变换T 在该基下的矩阵为,求线性变换 T 的特征值与特征向量. 解:,A 特征值,13,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得线性无关的特征向量,将特征值,代入特征方程组,得特征向量,14,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不全部为零),(,15,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不为零),(,16,例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵,5.2 线性变换的矩阵,它的特征多项式,如果,无解,17,5.3 特征值与特征向量,定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明: 设 A B , 存在可逆阵 P 使得 P-1A P = B,线性变换的特征值与基 的选取无关,18,5.3 特征值与特征向量,线性变换的特征值与基的
4、选取无关.,当 A , B 表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P )下的矩阵时:,A , B 有相同的特征多项式,19,5.3 特征值与特征向量,考察特征向量: 设 X 为 A 的特征向量:,PX 为 B 的特征向量,而 X 和 PX 为同一个向量在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P )下的坐标,线性变换的特征向量与基的选取无关.,20,5.3 特征值与特征向量,三 特征多项式的基本性质,观察特征多项式:, 只有主对角线项可能包含 n 和 n-1 项 n 和 n-1 项必定来自于,21,5.3 特征值与特征向量,(1) 特征多项式 f () 是关于 项的 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)的系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)的系数为 (a11+ a22+ ann) 括弧中主对角线元素之和称为矩阵 A 的迹,记为,另外,在多项式 f () 中令未知量 为0,应得到常数项,,(4) 常数项的系数为,22,5.3 特征值与特征向量,另一方面,在复数域,特征多项式 f () 必定有 n 个根,因此可以分解为:,特征多项式 f ()在复数域的 n 个根(特征值):,23
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