数学2-3,3.1回归分析的基本思想及其初步应用

1、3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用,比数学必3中“回归”增加的内容,必修统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修2-3统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e 产生的原因 了解相关指数 R2 和模型 拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决 一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系. 相关关系是一种非确定性关系.,函数关系是一种理想的关系模型. 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况.,问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？,2、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,例1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高

2、和体重数据如下表：,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172的女大学生的体重。,问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差,并且区分函数模型和回归模型。,1. 散点图； 2.回归方程：,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,身高为172的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是, 其原因是什么?,探究？,（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的未知参数，e是y与 = bx + a 之间的误差, 通常称为随机误差。,其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。,在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差 越小，通过回归直线,预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。,另一方面，由于计算出来的 和 为截距

3、和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。,随机误差：,线性回归模型：,思考: 产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,函数模型与“回归模型”的差别：,函数模型：因变量y完全由自变量x确定 回归模型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定,问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,称为残差平方和。,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据.,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断 模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称

4、为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。,(2) 残差图的制作和作用： 制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. 横轴为编号(或身高、体重等)：可以考察残差与编号次序之间的关系 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系， 作

5、用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.,R2的值越大,说明残差平方和越小, 模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的 贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,例3 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：,求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,1) 确定解释变量和预报变量; 2) 画出散点图; 3) 确定回归方程类型; 4) 求出回归方程; 5) 利用相关指数或残差进行分析.,问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,例2 一只红铃虫的产卵数y和

6、温度x有关。现收集了 7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,选变量,解：选取气温为解释变量x， 产卵数为预报变量y。,画散点图,假设线性回归方程为 ：=bx+a,选 模 型,估计参数,由计算器得：线性回归方程为 y = 19.87x -463.73, 相关指数R2 = 0.7464,所以一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,当x=28时, y =19.8728-463.7393,方法一：一元函数模型,合作探究,y= c1x2 + c2 变换 y= c1t + c2 非线性关系 线性关系,问题3,t =x2,方法二，二元函数模型,合作探究,平方变换：令t = x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a,作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2 = 0.802,将t=x2代入线性回归方程得： y = 0.367x2 -202.54 当x=28时,y=0.367282-202.5485 所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。,产卵数,气温,方法三 指数函数模型,合作探究,当x =28oC 时，y 44 ， 所以指数函数模型模型中温度解释了98%的产卵数的变化.,由计算器得：z关于x的线性回归方程为z=0.272x-3.849 ， , 相关指数R2 = 0.98,对数变换：在 中两边取自然对数得,令 , 则 就转换为z = bx + a,最好的模型是哪个?,指数函数模型最好！,

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