保险精算学课件(中国人民大学))

1、保险精算学,中国人民大学统计学院 主讲教师： 王晓军 黄向阳 王 燕,教材,指定教材 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 参考资料 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。,课程结构,基础 利息理论基础 生命表基础 核心 保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利 拓展 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管,第一章,利息理论基础,利息理论要点,利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金,第一节,利息的度量,第一节汉英名词对照,积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力,Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force o

2、f interest,一、利息的定义,定义： 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 影响利息大小的三要素： 本金 利率 时期长度,二、利息的度量,积累函数 金额函数 贴现函数 第N期利息,0,t,1- K- -1,利息度量一计息时刻不同,期末计息利率 第N期实质利率 期初计息贴现率 第N期实质贴现率,例1.1 实质利率/贴现率,某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？,例1.1答案,利息度量二积累方式不同,线形积累 单利 单贴现,指数积累 复利 复贴现,单复利计息之间的相关关系,单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。,例1.2,某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息

3、、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？,例1.2答案,利息的度量三利息转换频率不同,实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。,实质利率与实质贴现率,名义利率,名义利率,1,1,名义贴现率,名义贴现率,1,1,例1.3,1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。,例1.3答案,1、 2、 3、,利息效力,定义：瞬间时刻利率强度,等价公式,一般公式 恒定利息效力场合,例1.4,确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值 1、 2、,例1.4答案,三、变利息,什么是变利息？ 常见的变利息情况 连续变化场合：函数利息力 离散变化场合：,例1.5,1、如果 ，试确定1在n年末的积累值

4、。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。 3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？,例1.5答案,第二节,利息问题求解原则,一、利息问题求解四要素,原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力 本金在投资期末的积累值,二、利息问题求解原则,本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题 工具：现金流图 方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。,0,现金流 时间坐标,例1.6：求本金,某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？,例1.6答案,以第7年末为时间参照点，有 以第8年末为时间参照点，有 以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）,例1.7：求利率,

5、（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？,例1.7答案,（1） （2）,例1.8：求时间,假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？,例1.8精确答案,例1.9近似答案rule of 72,例1.10：求积累值,某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？,例1.10答案,第三节,年金,第三节汉英名词对照,年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金,Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity,一、年金的定义与分类,定义 按一定的时间间隔支付

6、的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金,二、基本年金,基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 分类 付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金,基本年金图示,0 1 2 3 - n n+1 n+2-,1 1 1 - 1 0 0-,1 1 1 - 1 0 0 0-,1 1 - 1 1 1-,1 1 1 - 1 1 1-,延付永久年金,初付永久年金,延付年金,初付年金,基本年金公式推导,例1.11,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。,例1.12,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？,例1.12答案,（1） （2）,例1.13,假定现在起

7、立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。,例1.13答案,方法一： 方法二：,例1.14,有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,例1.15永久年金,A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？,例1.15答案,基本年金公式总结,未知时间问题,年金问题四要素 年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值） 关注最后一次付款问题 在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment） 在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）,例1.16,有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是： （1）在最后一次正规付款的日期支

8、付。 （2）在最后一次正规付款以后一年支付 （3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）,例1.16答案,变利率年金问题,类型一：时期利率(第K个时期利率为 ),变利率年金问题,类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）,例1.17:,某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.17答案,例1.18:,某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.18答案,三、一般年金,一般年金 利率在支付期发生变化 付款频率与利息转换频率不一致 每次付款金额不恒定 分类 支付频率不同于计息频率的年金 支付频率小于计息频率的年金 支付频率大于计息频率的年金 变额年金,支付频率不同于计息频率年金,分类 支付频率小于利息转换频率 支付频率大于利息转换频率 方法 通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。 年金的代数分析,支付频率小于计息频率年金,0,k,2k,nk,计息,支付,1,1,1,例1.19:,

9、某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.,例1.19答案,方法一:利率转换法 方法二:年金转换法,例1.20：永久年金,有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。,支付频率大于利息转换频率,支付频率大于,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,计息,支付,1,2,n,年金分析方法,方法一：利率转换法,年金转换法,例1.21,某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.,例1.21答案,方法一: 方法二:,例1.22：永久年金,一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？,例1.22答案,年金关系,一般年金代数公式,连续年金,定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金. 公式:,恒定利息效力场合,例1.23,确定利息效力使,变额年金,等差年金 递增年金 递减年金 等比年金,等差年金,一般形式 现时值 积累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n-1)Q,特殊等差年金,例1.24,从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成 计算,例1.24答案,例1.25,有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。,例1.25答案,等比年金,0,1,2,n,1,1+k,

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