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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题08-立体几何

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常见问题

1、2、（2002一试6）由曲线x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( )(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V23、（2003一试6）在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于（） (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1sin2=3而四面体ABCD的体积=平行六面体体积=故选B4、（2004一试6）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A B C D 5、(2005一试4) 如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面

2、多边形的面积为S，周长为.则（）AS为定值，不为定值 BS不为定值，为定值CS与均为定值 DS与均不为定值【答案】B【解析】将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B。来源:学科网ZXXK6、（2006一试4）在直三棱柱中，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为（） A. B. C. D. 7、（2007一试1）如图，在正四棱锥PABCD中，APC=60，则二面角APBC的平面角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，在侧面PAB内，作AMPB，垂足为M。连结CM、AC，则AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在A

3、MC中，由余弦定理得。8、（2008一试4）若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（）。（A）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3【答案】A9、（2000一试11）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是_.10、（2001一试9）正方体1的棱长为1，则直线与的距离是_【答案】【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法为了保证所作出的表示距离的线段与和都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内为此，作正方体的对角面，则面，且面设0，在面内作，垂足为，则线段的长为异面直线与的距离在中，等于斜边上高的一半，即612、（2004一试9）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是。13、（2006一试10）底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注

4、水 cm3.来源:Z|xx|k.Com【答案】14、（2007一试9）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。【答案】（第12题图1）15、（2008一试12）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 【答案】【解析】如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因，16、（2010一试7）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则【答案】【解析】解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则来源:Zxxk.Com 由此可设，所以，即.所以 .来源:学|科|网Z|X|X|K17、（2011一试6）在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为来源:学科网18、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是

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