排名决策数学模论文
7页1、河南理工大学公选课数学建模课程论文姓 名梁夏夏论文题目排名决策学 号311006030116学院、专业材料学院、矿加10-1班论文分数教师填写:排名决策摘要本论文将利用得分向量法建立数学模型解决了一个为足球对排名次的问题.。首先画出球队比赛的胜负关系图,(1)看是否存在唯一的完全路径,若存在唯一的完全路径,则有完全路径确定的定点顺序与得分多少排列的顺序完全一致。(2)若不存在唯一完全路径,则按照得分向量法,求出邻接矩阵的特征根,及特征向量作为得分向量的极限即得分向量的极限,来求解排名次序。文中还写出了得分向量求解的算法,考虑了排名是否公平的问题等。该模型是稳定的,而且非常简单,容易理解,求解过程方便,易于验证。本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,简单、易行、计算方便,直接用程序实现,可扩展性强,而且经过简单修改,它还可以适用其它的对抗型比赛的排名。关键词竞赛图、双相连通图、矩阵乘法算法、Perron-Frobenius定理、得分向量。问题描述有七个足球队参加的循环赛,每次比赛不允许平局,只计胜负,胜负情况如下表,请给出七个队好的排名方式。A B C D E F G ABCDEFG
2、胜 胜 胜胜 胜 胜胜 胜 胜胜 胜 胜 胜胜 胜胜 胜 胜 胜胜 胜问题分析本题是排名问题的求解故可用竞赛图的方式来表示七个队伍方分别用七个顶点表示,胜负关系则用有向边表示如图所示:从图中可以看出不存在唯一完全路径,但是该竞赛图是双向连通图,所以可建立邻接矩阵,利用得分向量法来求解。最后得出公平的排名为D,F,C,A,B,G,E模型假设(1) 足球队之间进行单循环比赛(2) 各球队之间两两交锋(3) 每场比赛只计胜负,不及比分(4) 不允许平局模型建立本题中七个组球队的循环比赛中没有平局,所以假设胜一局得1分,负一局得0分,由此建立邻接矩阵(1)来表示各个队伍之间比赛的胜负情况。建立得分向量来表示各个队伍的总得分情况,T (2)则由(1)不难知道s(1)=A 1,1=(1,1,,1)T (3)1级向量表示的是各个队伍的总得分情况。因为比赛过程中存在总得分相同的队伍,所以1级的得分向量无法排出全部的名次,所以需要进一步计算高级的得分向量。s(2)=A s(1) (4)称为2级得分向量,2级得分向量表示每支球队所战胜的各个球队的得分之和,与1级向量相比,2级得分向量更有理由作为排名的依据
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