算法设计与分析电子教案第2章递归与分治策略
55页1、第2章 递归与分治策略,将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。,算法总体思想,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。,n,T(n),=,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题, 分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破, 分而治之。 凡治众如治寡,分数是也。 -孙子兵法,2.1 递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的
2、函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。,下面来看几个实例。,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:,边界条件,递归方程,边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。,2.1 递归的概念,例2 Fibonacci数列 无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为:,边界条件,递归方程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下: public static int fibonacci(int n) if (n = 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); ,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 当一个函数及它的
3、一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n,m)定义如下:,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义:,但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2n 。 M=3时,类似的可以推出 M=4时,A(n,4)的增长速度非常快,以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 定义单变量的Ackerman函数A(n)为,A(n)=A(n,n)。 定义其拟逆函数(n)为:(n)=minkA(k)n。即(n)是使nA(k)成立的最小的k值。 (n)在复杂度分析
4、中常遇到。对于通常所见到的正整数n,有(n)4。但在理论上(n)没有上界,随着n的增加,它以难以想象的慢速度趋向正无穷大。,2.1 递归的概念,例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素r1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素,Ri=R-ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下:,当n=1时,perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素; 当n1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+nk, 其中n1n2nk1,k1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分: 6; 5+1; 4+2,4+1+1; 3+3,3+2+1,3+1+1+1; 2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1。,(2)
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