算法课件资料第2章+递归与分
85页1、第2章 递归与分治策略,学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 (1)二分搜索技术; (2)大整数乘法; (3)Strassen矩阵乘法; (4)棋盘覆盖; (5)合并排序和快速排序; (6)线性时间选择; (7)最接近点对问题; (8)循环赛日程表。,2.1 递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。,下面来看几个实例。,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:,边界条件,递归方程,边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。,2.1 递归的概念,例2 Fibonacci数列 无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
2、称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为:,边界条件,递归方程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下: int fibonacci(int n) if (n = 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); ,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n,m)定义如下:,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义:,本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。,2.1 递归的概念,A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2n 。 M=3时,类似的可以推出
3、M=4时,A(n,4)的增长速度非常快,以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数,定义单变量的Ackerman函数A(n)为,A(n)=A(n,n)。 定义其拟逆函数(n)为: (n)=minkA(k)n。 即(n)是使nA(k)成立的最小的k值。 (n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n,有(n)4。但在理论上(n)没有上界,随着n的增加,它以难以想象的慢速度趋向正无穷大。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数,例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素r1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素,Ri=R-ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。 R的全排列可归纳定义如下:,当n=1时,perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素; 当n1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成。,2.1 递归的概念,例4 排列问题 思考:含有
4、重复元素的排列问题。,2.1 递归的概念,n个元素集合R=r1,r2,rn的全排列,元素r1,r2,rn可能相同。列出R的所有不同排列。,如a,a,c,c。 全排列如下: aacc acac acca caac caca ccaa,例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+nk, 其中n1n2nk1,k1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。,例如正整数6有如下11种不同的划分: 6; 5+1; 4+2,4+1+1; 3+3,3+2+1,3+1+1+1; 2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1。,2.1 递归的概念,(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最大加数n1实际上不能大于n。因此,q(1,m)=1。,(1) q(n,1)=1,n1; 当最大加数n1不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式, 即,(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1; 正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和 n1m-1 的划分组成。,(3) q(n,n)=1+q(n,n-
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