线性代数智能化教学系统教学课件作者适用于所有教材第8节
37页1、流动问题,希尔密码,第2.8节 矩阵的应用,平面图形变换,齐次坐标,2.8.1 流动问题,流动问题主要有人口流动和物资流动问题,本例,是人口流动问题,物资流动问题参阅习题,例1 设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事,农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持,不变,而社会调查表明:,()在这30万就业人员中,目前约有15万人从,事农业,9万人从事工来,6万人从事经商:,(2)在务农人员中,每年约有20%改为务工,,10%改为经商;,(3)在务工人员中,每年约有20%改为务农,,10%改为经商;,(4)在经商人员中,每年约有10%改为务农,,10%改为务工;,现在想预测1,2年后从事各业人员的人数,以及经,过多年后,从事各业人员总数之间的发展趋势。,解 设 xi , yi , zi 表示第 i 年后分别从事农、工、,商的人员总数,则 x0 = 15, y0 = 9, z0 = 6,现要,求 x1 , y1 , z1 和 x2 , y2 , z2 ,并考察当 n 年后,xn , yn , zn 的发展趋势,根据题意,一年后从事农、工、商的人员总数为,即,其中,将 x0 = 15, y0
2、 = 9, z0 = 6 代入上式,得,即一年后从事农、工、商的人员的人数分别为12.9,万人、9.9万人、7.2万人,当 n = 2时,有,进而推得,即 n 年后从事农、工、商的人员的人数由 An 决定,2.8.2 希尔密码,1929年,希尔利用线性代数中的矩阵乘积运算,,为了便于计算,希尔首先将字符变换成数.,设计了一种被称为希尔密码的代数密码,对英文字母,可以作如下变换:,例如,,0,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,Z,Y,X,W,V,U,T,S,R,Q,P,O,N,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,M,L,K,J,I,H,G,F,E,D,C,B,A,希尔密码的基本思想:,将明文分成 n 个一组,用对应的数字代替,就变,如果取定一个 n 阶的可逆矩阵,成了一个个 n 维向量.,将密文分成 n 个一组,同样变成 n 维向量,只需,A(此矩阵称为密钥),用 A 去乘每一个向量,即可,起到加密的效果.,用 A1 去乘这些向量,即可将它们变回原先的明文.,两个问题:,1)为了使数字与字符间可以互换,必须使用取自,0 25之
3、间的整数;,2)在解密时要用到逆矩阵,而,可能会出现分数,解决的办法:引进同余运算,并用乘法来代替除法,考虑最简单的情况.,令 n = 1,用数 a 去乘 0 25,中的数,以 26 为模取同余,,并要求有,使得,或要求存在 a 1,使得,a 1a 1 (mod 26),,经简单的分析即可发现,并非所有0 25 中的数,都可用来作为这里的 a,,事实上我们可以证明下面的,a 1 0, , 25 ,, p 0, , 25 ,有a 1ap p (mod 26).,称 a 1 为 a 的逆元素,定理 :,定理 a 0, , 25 ,若 a1 0, , 25 ,使得 a a1 = a1a = 1 (mod 26),则必有gcda, 26 = 1,,其中gcda, 26 为 a 与 26 的最大公因数,由定理可知,0 26 中除 13 以外的奇数均可取作,这里的 a,下面列出经计算求得的逆元素,对于 n 为一般整数的情况,只需在乘法运算中结,合应用取余,求逆矩阵时用逆元素乘来代替除法即可,希尔密码是以矩阵法为基础的,明文与密文的对,应由 n 阶矩阵 A 确定,的,与明文分组时每组字母的字母数量
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