线代线性代数复习

1、, 用定义计算（证明）,例 用行列式定义计算,一、计算（证明）行列式,解,评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法,注意, 利用范德蒙行列式计算,例 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式, 用化三角形行列式计算,例 计算,解,提取第一列的公因子，得,评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形

2、行列式之目的, 用降阶法计算,例 计算,解,评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用, 用拆成行列式之和计算,例 证明, 用递推法计算,例 计算,解,由此递推，得,如此继续下去，可得,评注, 用数学归纳法,例 证明,证,对阶数n用数学归纳法,评注,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法,小结,矩阵,一、矩阵的运算,二、逆矩阵的运算及证明,三、矩阵的分块运算,典 型 例 题,例 计算,一、矩阵的运算,解,解,由此得,例,例,解,用定义求逆阵,二、逆矩阵的运算及证明,注,分析,矩阵方程,解,证,例,三、矩阵的分块运算,同理可得：,例 6,解,（）根据分块矩阵的乘法，得,（）由（）可得, 初等变换的定义,换法变换,倍法变

3、换,消法变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换,反身性,传递性,对称性, 矩阵的等价,三种初等变换对应着三种初等矩阵, 初等矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ,（）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ,（）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元,例如, 行阶梯形矩阵,经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0,例如, 行最简形矩阵,对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0,例如, 矩阵的标准形,所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单

4、的 矩阵,定义, 矩阵的秩,定义,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数, 矩阵秩的性质及定理,定理,定理, 线性方程组有解判别定理,齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解,非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解,10 线性方程组的解法,定理,11 初等矩阵与初等变换的关系,定理,推论,一、求矩阵的秩,二、求解线性方程组,三、求逆矩阵的初等变换法,四、解矩阵方程的初等变换法,典 型 例 题,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,一、求矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用,例 求下列矩阵的秩,解 对 施行初等行变换化为阶梯

5、形矩阵,注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则,二、求解线性方程组,例 求非齐次线性方程组的通解,解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使 其成为行最简单形,由此可知 ，而方程组(1)中未知 量的个数是 ，故有一个自由未知量.,例 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解,解法一 系数矩阵 的行列式为,从而得到方 程组的通解,解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形,三、求逆矩阵的初等变换法,例 求下述矩阵的逆矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换,四、解矩阵方程的初等变换法,或者,例,解,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量, 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法,

6、 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组, 向量空间,定义, 子空间,定义, 基与维数,向量方程, 齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程, 非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系, 线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得

7、齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典 型 例 题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线

8、性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间,解,三、向量空间的判定,例 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组 的基础解 系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组 ，有时也把 如题中所给的 个解称为 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示,定义, 向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：, 向量的长度,定义, 向量的夹角,所

9、谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义, 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义, 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义, 方阵的特征值和特征向量, 有关特征值的一些结论,定理,定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量, 有关特征向量的一些结论,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性, 相似矩阵, 有关相似矩阵的性质,若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同,(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量,(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似, 实对称矩阵的相似矩阵,定义, 二次型,二次型与它的矩阵是一一对应的,定义, 二次型的标准形, 化二次型为标准形,定义, 正定二次型, 惯性定理,注意, 正定二次型的判定,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典 型 例 题,二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值,五、求方阵 的特征多项式,六、关于特征值的其它问题,七、

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