现代数值分析课件第6章函数插值1章节

1、第六章 函数插值,本章主要讨论的问题： 1、函数插值的基本方法 2、插值的误差分析,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,6.1 插值 举例,这就是本章要讨论的“插值问题”。函数 插值也就是对函数的离散数据建立简单 的数学模型。,Def：当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时, 在区间a , b上一系列互异节点 x0, x1, ,x n 处测得函数值 y0 = f (x0), , yn = f ( xn), 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f (x), 满足条件 g ( xi) = f ( xi) (i = 0, n) (*) 这个问题称为“插值问题”,插值问题的定义,这里的 g(x) 称为f (x) 的插值函数。,节点 x0 xn称为插值节点, f (x) 称为被插函数，,条件(*)称为插值条件, 区间a , b称为插值区间,f(x),g(x),最常用的插值函数

2、是 ?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计？,代数插值,一 代数插值问题解的存在惟一性,给定区间a , b上互异的n+1个点 的一 组函数值 , 求一个次数不超过 n 的多项式 , 使得,定理1：满足插值条件（1）的插值多项式（2）是存在唯一的。,令,只要证明 Pn( x )的系数 存在唯一即可,而 的系数行列式是Vandermonde行列式,且,从而方程组(3)的解 存在且唯一.,注：通过解上述方程组(3)求得插值多项式 Pn ( x ) 的方法并不可取. 这是因为当n 较大时解方程组的计算量较大, 而且方程组系数矩阵的条件数一般较大(可能是病态方程组), 当阶数n 越高时, 病态越重 .,为此我们必须从其它途径来求Pn( x )： 不通过求解方程组而获得插值多项式,不同的基函数的选取导致不同的插值方法,Lagrange插值,Newton插值,n = 1,可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和

3、( x1, y1 ) 两点的直线.,6.2 Lagrange插值,求 n 次多项式 使得,已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求,这种插值称为线性插值, 其中 l0( x ), l1( x )称为线性插值的基函数, 它们是由插值节点 x0, x1唯一确定的, 且满足:,n = 2,L2(x) 是过 ( x0 , y0 ) , ( x1, y1 ) 和( x2, y2 ) 三点的次数不超过 2 次的多项式, 几何上看即为抛物线. 构造 L2(x) 如下, 令:,代入,可得,同理可得,于是有,这种插值称为二次插值, 或抛物插值. 可以验证 L2(x)满足插值条件: L2(xi) = yi (i=0,1,2). 其中 l0( x ), l1( x )和l2( x )称为二次插值的基函数, 它们是由插值节点 x0, x1, x2唯一确定的, 且满足,二次插值函数：,推广到一般情形,则有一般的Lagrange插值公式.,一、插值基函数,De f : 若n 次多项式 在 n +1个插值节点 上满足插值条件,则称这 n +1 个 n 次多项式 为插值节点 上的n 次插值基函数.,下建立其具体

4、表达式：,由ik 时, 知 为 的零 点, 故设,由 得,因此,与 节点有关，而与f 无关,基函数的性质,Prop1: 基函数 为由插值节点 唯一确定的n 次函数.,Prop2: 基函数所含的基函数个数与插值节点个数相同.,可以证明函数组 l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值区间a , b上线性无关, 所以这 n+1个函数可作为Pn 的一组基函数, 称为Lagrange插值基函数。,则 Ln(x)是次数不超过 n 的多项式, 满足插值条件Ln(xi) = yi , 称其为Lagrange插值多项式, 或Lagrange插值公式。 注: (1) 若被插函数 f (x)=1, 则得插值基函数的一个重要性质 (2) Lagrang插值只要求节点互异, 而与大小次序无关。,令：,二、Lagrange 插值多项式,方便记法：,记：,则,因此 可写成如下形式,例1：已知 分别用线性插值和二次 插值求 的近似值。 解: (1) 线性插值,(2) 二次插值,注：这里线性插值只选取两个相近点。, 插值余项 /* Remainder */,证明：由于R n ( xi ) 0 ，i = 0,1,

5、n,任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察, (t )有 n+2 个不同的根 x0 xn x,(Taylor公式),推论：设 , 并记 ,则函数 f (x) 的过点(a , f (a) , (b , f (b)的线性插值余项 R1(x) 有上界误差估计式：,说明：,10 : 由于余项含有因子,如果插值点偏离节点较远, 则插值效果一般不理想.,20 : 通常所说的n 次代数插值多项式不一定就是次多项式, 它可能是次数低于n 的.,30 : 一般情况下, 余项中的具体数值不易确定, 实际计算中常估计其误差限.,设,则有,由此看出, |Rn(x)|的大小除与Mn+1有关外, 还与插值节点有密切关系. 当给定m 个点处的函数值, 但仅选用其中n+1(n+1 m)个作为插值条件而求某点 处的函数值时, n+1个节点的选取应尽可能地接近 .,40 : 优缺点,优点: Lagrange插值多项式构造简单, 形式对称, 计算方便. 缺点: 要增加节点时, 需重新构造基函数.,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,sin 50 = 0.7660444,利用

6、x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001,利用,计算得：sin 50 0.76008,利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,例3: 考虑制做 sin x 在0, 上等距结点的函数表,要求用线性插值计算非表格点数据时,能准确到小数后两位,问函数表中自变量数据的步长 h 应取多少为好？,解：设应取的步长为h , 则 xj = j h ( j = 0,1,n). 当 x(xj , xj+1)时,计算实习： Lagrange Polynomial,1 输入n,x,y,x* 2 赋初始值Pai=1.0，Slag=0.0 3for i=0，1，n 3.1Pai*(x*-xi)Pai end for(i) 4for j=0,1,，n 4.1Tai=1.0 4.2for i=0,1，n 4.2.1if ij then Tai*(xj-xi)Tai end if end for(i) 4.3Slag+(yj*Pai)/(x*-xj)*Tai)Slag end for(j) 5 输出Slag 6end,插值节点个数,基函数lj(x)的分母,存放在插值点x*处的计算结果,xi,yi(i=0,1，,n),基函数lj(x)的分子,

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