现代控制理论基础第3版王孝武第3章节
86页1、第3章 控制系统的能控性和能观测性,在多变量控制系统中,能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性,是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为:,1. 引言能控性、能观测性的基本概念,2. 能控性及其判据,3. 能观测性及其判据,4. 离散系统的能控性和能观测性,5. 对偶原理,6. 能控标准形和能观测标准形,7. 能控性、能观测性与传递函数的关系,8. 系统的结构分解,9. 实现问题,10. 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性,3.1 引言,首先,通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。,例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 为状态变量,即: 。 电桥平衡时,不论输入电压 如何改变, 不随着 的变化而改变,或者说状态变量不受 的控制。即:该电路的状态是不能控的。,显然,当电桥不平衡时,该电路的状态是能控的。,例3-2 电路如下图所示,如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态变量,即: , ,电路的输出 为C2上的电压,即 ,则电路的系统方程为,系统状态方程的解为,可见,不论加入什么样的输入信号,总是有,一般情况下,系统方程可以表示为,(1),状态能控与
2、否,不仅取决于B 阵(直接关系),还取决于A 阵(间接关系)。,系统状态转移矩阵为,系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。,例3-3 电路如下图所示。选取 为输入量, 为输出量,两个电感上的电流分别作为状态变量,则系统方程为,系统状态方程的解为,对于不能观测的系统,其不能观测的状态分量与y 既无直接关系,又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C,还与A 有关。,一般情况下,系统方程如式(1)所示,状态能观测与否,不仅取决于C 阵(直接关系),还取决于A阵(间接关系)。,从上式可知,不论初始状态为什么数值,输出 仅仅取决于其差值 。当 ,则输出恒等于零。显然,无法通过对输出的观测去确定初始状态,称这样的系统是不能观测的。,3.2 能控性及其判据,3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据,1. 能控性定义,2)如果在有限时间区间 内,存在容许控制 ,使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ,则称系统是状态能达的;由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的,因此系统的能控性和能达性是等价的。,3)只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的,系统才是能控的。,2. 能控性判据
3、,定理3-1 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的nn维格拉姆矩阵满秩,(5),(证明参见教材84页),(这个定理为能控性的一般判据。但是,由于要计算状态转移矩阵,比较繁琐。实际上,常用下面介绍的判据。),定理3-2 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的nnr 维能控性矩阵满秩。,(6),(7),于是,(9),如果系统能控,必能够从(9)式中解得 , , , 。这样就要求,(本判据本身很简单,因此是最为常用的方法。),定理3-3 (PBH判别法) (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是,对A 的所有特征值 ,都有,(10),(证明略),例3-6 有如下两个线性定常系统,判断其能控性。,(1),(2),解,根据定理3-4, 系统(1) 不能控 ; 系统(2)能控。,则系统能控的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。,(12),例3-7 有如下两个线性定常系统,判断其能控性。,(1),(2),(定理(3-4)、定理(3-5)不仅可以判断系统能控性,而且对于不能控的系统,可以知道哪个状态分量不能控。) 说明:1.上
4、面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同,但是,在判断线性定常系统能控性时是等价的。 2.在线性连续定常系统中,由于能达性和能控性是等价的,因此,能控性判据同样可以判断能达性。,3.2.2 线性时变系统的能控性判据,(13),线性时变系统的状态方程为,定理3-7 状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ,使得以下格拉姆矩阵非奇异。,(14),(16),当,定理3-8 如果线性时变系统的 和 的元是(n1)阶连续可微的。如果存在一个有限的 ,使得,(17),则系统在 是能控的。,解,3.3 能观测性判据,3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据,1. 能观测性定义,(18),线性定常系统方程为,如果在有限时间区间 ( )内,通过观测 ,能够惟一地确定系统的初始状态 ,称系统状态在 是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测,则称系统是状态完全能观测的。,2)如果根据 内的输出 能够惟一地确定任意指定状态 ,则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。,3)状态空间中所有有限点都是能观测的,则系统才是能观测的。,4)系统的输入 以及确定性的干扰
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