水力学3水运动学

1、3 恒定总流的基本方程,3.1 描述液体运动的两种方法,3.2 恒定总流的连续方程,3.3 恒定总流的能量方程,3.4 恒定总流的动量方程,液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质， 怎样描述整个液体的运动规律呢？,3.1 描述液体运动的两种方法,3.1.1 拉格朗日法和欧拉法,一. 拉格朗日法: 质点系法 把液体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述 其运动过程，获得整个液体运动的规律。,设某一液体质点 在 t = t0 占据 起始坐标 （a，b，c）,t0 ： 微团占据 起始坐标 （a，b，c） t ： 微团运动到 空间坐标 （x，y，z）,式中，（a，b，c，t）= 拉格朗日变数,（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点,给定（a，b，c）， 该质点的轨迹方程 不同（a，b，c）， 不同质点的轨迹方程,对上式求导，得到液体质点的速度,对速度求导，得到液体质点的加速度,二. 欧拉法,欧拉法：流场法，核心是研究运动要素分布场,考察固定空间点（x, y, z) ，不同液体质点通过的情况，了解整个流动空间的流动。,欧拉法,相当于在流场中设置许多

2、观察点（x，y，z），研究不同时刻t、不同观察点（x，y，z）上, 不同液体质点的运动，将各观察点的运动信息加以综合，可了解整个流场的运动。,采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。,液体质点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速,式中， (x, y, z, t ) : 欧拉变数 (ux uy uz) : 通过固定点的流速分量,(a, b, c) : 质点起始坐标 t : 任意时刻 任意时刻 (x, y, z) : 质点运动轨迹坐标 空间固定点（不动）,拉格朗日法,欧拉法,欧拉法,欧拉法,液体质点通过任意空间坐标时的加流速,式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量,用欧拉法研究液体运动的例子 地面卫星观测站 水文站,3.1.2 用欧拉法表达加速度,从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分,迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）,迁移加速度（位变加速度） 同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度,当地加速度（时变加速度） 同一

3、空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度,图 位变加速度说明,u2,u1,水面保持恒定,x,同一时刻，沿着抛射轨迹，不同位置处的流速不同，因此，沿抛射轨，存在位变加速度,t0,u0,u1,u2,利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间 t 的函数，则,3.1.3 液体运动的一些基本概念,运动要素之一不随时间发生变化的流动，即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零,一. 恒定流和非恒定流 1 恒定流,2 非恒定流,运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之 一对时间的偏导数不为零,河道中水位和流量的变化 大海中潮起潮落现象非恒定流 洪水期中水位、流量有涨落现象非恒定流 平水期中水位、流量相对变化不大恒定流,水静力学就是恒定流,容器中液体 当容器中液体 处于相对平衡恒 定流。当容器 的旋 转角速度突然改变， 容器中液体变速运 动非恒定流,闸门迅速开启时引起的非恒定流,闸门突然关闭时，管道中水流的运动随时间变化,二 迹线和流线,1 迹线和迹线方程,液体质点不同时刻所流经的空间点所连成的线， 即液体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法引出的概 念。,迹线方程,某瞬时在流场中的一条空间曲线，曲线

4、上所有 液体质点的速度向量都与该曲线相切。,2 流线,流线画法,图 流经弯道的流线,绕过机翼剖面的流线,3 流线方程,y,流线方程,3 流线方程,y,流线方程,3 流线方程,流函数,1,恒定流时，流线形状和位置不随时间改变,原因：恒定流时，流速向量不随时间改变,4 流线的基本性质,2,恒定流时，流线与迹线重合,3,流线不能相交,原因：相交点流线有两个方向,三 质点与控制体的概念,控制体 在某一坐标系下的一个不动的封闭空间体 控制体外表面称控制面，控制体可根据需要将其取成不同形状。 流体可自由进出控制体,v2,1,2,1,2,一段渠道的控制体,质点与控制体的概念,控制体：控制面组成： 过水断面、壁面、自由水面,v2,1,2,1,2,一段渠道的控制体,过水断面,过水断面,液体与边壁的交界面,过水断面,过水断面,液体与管壁的交界面,“元”是指空间自变量的个数,一元流,运动要素只与一个空间自变量有关,四.元流、总流、流量与断面平均流速,一矩形顺直明渠 当渠道很宽，两 侧边界影响可忽略不 计时，任一点流速与 流程s、距渠底铅垂距离z有关，而沿横向y方向, 流速几乎不变。,一矩形明渠 当宽度由b1

5、突扩为b2时，突变的局部范围内，水流中任一点流速，不仅与断面位置坐标有关，还和坐标y、z 有关。,三元流,任一运动要素与三个空间坐标有关,实际上，任何液体流动都是三元流，需考虑运动 要素在三个空间坐标方向的变化。,由于问题非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以水力学中，常用简化方法，尽量减少运动要素的“元“数。,1,一元流分析法回避了水流内部结构和运动要素 的空间分布。,存在的问题,例如，用断面平均流速代替实际流速，把总流视为 一元流。 水利工程的实践证明，把三维水流简化成一元流，或二元流是可以满足生产需要的，但存在一些问题。,2,不是所有问题都能简化为一元流，或二元流的。 例如，掺气，水流的脉动、水流空化等问题。所 以，简化是针对水力学具体问题而言（相对的）。,存在的问题,2,简化是相对和有条件的,1,回避了水流内部结构和运动要素的空间分布,存在的问题,1 元流和总流,一、流管,（1）流管 在流场中，任取一个面积 A ，通过其周界上的每一个点，均可作一条流线。这些流线围成的一个封闭管状曲面,A,一、流管,（1）流管 微小流管 在流场中，任取一个微分面积 dA ，通过其周界 上的每一

6、个点，均可作一条流线，这样构成的一个封 闭的管状曲面，称微小流管。,dA,封闭曲线,微小流管,（2）流束,充满以流管为边界的一束液流，称流束,充满以微小流管为边界的一束液流，称微小流束,过水断面可能是曲面，或平面。当水流的流线为平 行线时，过水断面为平面， 否则，就是曲面。,2 流量,（1）流量 单位时间内通过某一过水断面的液体体积为流量， 用符号Q 表示，有三种表示方法。,体积流量 Q （m3/s）,质量流量 Q （kg/s）,重量流量 Q （N/s）或（kN/s）,从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA ， 其上流速为u ， 则微小流束通过的流量为,通过总流过水断面的流量为,u(y),y,Q,v,断面平均流速,引入断面平均流速 使液体运动得到简化（使三元流动变成了一维 流动）。在实际工程中，断面平均流速是非常重 要的。,3.1 描述液体运动的两种方法,3.2 恒定总流的连续方程,3.3 恒定总流的能量方程,3.4 恒定总流的动量方程,3.2 恒定总流的连续方程,液体运动必须遵循： 质量守恒的普遍规律 液体的连续方程就是质量守恒定律的一种形式 现推导如下,从恒定流中取一微小束，其

7、中符号见图,化简得到,恒定微小流束的连续方程,3.1 描述液体运动的两种方法,3.2 恒定总流的连续方程,3.3 恒定总流的能量方程,3.4 恒定总流的动量方程,3.3.1 理想液体的运动微分方程,理想液体的概念,液体的主要物理性质影响液体的运动。特别是液 体粘滞性存在，使水流运动的分析变得非常复杂。为 简化起见，引入“理想液体”概念 。,理想液体,不可压缩 不能膨胀 连续介质 没有粘滞性 没有表面张力,实际液体的压缩性和膨胀性很小，表面张 力也很小，与理想液体没有很大的差别。所以， 理想液体和实际液体主要差别是液体粘滞性。 理想液体得出的液体运动结论，必须对未考虑 粘滞性而引起的偏差进行修正。,虽然并不存在理想液体，但有些问题，如粘滞 力比其他力要小得多时，为了分析问题简单起见， 可把粘滞力略去不计，用理想液体去代替实际液 体，其结果有足够的准确性。所以研究理想液体动 力学是有实际意义的。,理想液体的运动微分方程,在运动的液体中取出一块平行六面微元体,x,y,z,O,A,dy,dx,dz,1 表面力,右侧面,左侧面,压强,面 积,x,y,z,O,A,dy,dx,dz,Y,Z,X,考虑

8、微元体的受力平衡，则,以 除上式，并化简，则,理想液体的运动微分方程,方程中的未知数为: p,ux,uy,uz,方程中未知数为: p, ux, uy, uz = 4 方程数目：3 连续方程：1 微分方程组可解,化简得,二、实际液体恒定流微小流束的能量方程式,对于实际液体，因为存在粘性，在流动过程中，要消耗一部分能量用于克服摩擦力，液体的机械能沿程减少，即存在能量损失。,在重力作用下，实际元流从1运动到2，则,令： hw= 单位重量的液体 从断面1-1运动至断面2-2所损失的能量，则,不可压缩实际液体恒定流元流的伯努利方程,在重力和离心力共同作用下，实际 液体元流从1运动到2，则,实际元流单位重量液体在转轮中的能量损失,水泵：水流从转轮叶片中获得能量,水轮机：液体机械能减少成为 有效动力及克服能量损失。,3.3.3 实际液体恒定总流的能量方程,1 均匀流的特征,uA,uB,uB = uA,z2,1,1,2,2,z1,C1,C2,C1 C2,均匀流的特征,动水压力、重力在垂直于水流方向n的投影为,若流线不是相互平行的直线，称非均匀流。,按流线不平行和弯曲的程度，可将非均匀流分为两种类型,2

9、 非均匀流,渐变流断面上动水压强分布规律 固体边界约束的渐变流过水断面 动水压强符合静水压强分布规律,渐变流,渐变流断面上动水压强分布规律： 水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强 不服从静水压强分布规律 例如，孔口收缩断面，其上流线近似平行， 各点均与大气接触，压强约为大气压强。,渐变流,渐变流断面上动水压强分布规律 固体边界约束的渐变流过水断面，动水压强 符合静水压强分布规律 水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不 服从静水压强分布规律。,渐变流,二 实际液体恒定总流能量方程的推导,不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程为,沿总流过水断面积分：,类积分,类积分,类积分,dA1,u1,1,2,1,2,p1/,z1,z2,u2,p2/,dA2,类积分,类积分,类积分,dA1,u1,1,2,1,2,p1/,z1,z2,u2,p2/,dA2,类积分,类积分,类积分,式中， 为动能修正系数，其值取决于过水断面上流速 分布情况。断面流速分布完全均匀，1 ；流速分布 越不均匀，越大 ；渐变流时， = 1.051.10 ; 一般取 =1 。,dA1,u1,1,2,1,2,p1/,z1,z2,u2,p2/,dA2,类积分,类积分,类积分,dA1,u1,1,2,1,2,p1/,z1,z2,u2,p2/,dA2,类积分

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