2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第2节　空间几何体的表面积与体积

1、第2节空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的表面积与侧面积3,8,12空间几何体的体积1,2,4,7,8,10球与空间几何体的接、切问题6,9,11折叠与展开问题5,13基础巩固(时间:30分钟)1.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xOz,xOy,yOz三个平面上的正投影,则此四棱锥的体积为(B)(A)94(B)32(C)64(D)16解析:由已知的三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四 棱锥,其底面面积S=(6-2)2=16,高h=8-2=6,所以四棱锥的体积V=Sh=32,故选B.2.(2017长春市二模)堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.九章算术中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺).答案是(C)(A)25 500立方尺(B)34 300立方尺(C)46 500立方尺(D)48 100立方尺解析:由已知,堑堵形状为棱柱,底面是直角三角形,其体积为2018625=46 500立方尺.故选C.3.导学号

2、38486130(2017乌鲁木齐市三诊)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(D)(A)8+2 (B)8+3 (C)10+2(D)10+3解析:根据三视图可知该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成,其表面积S表面积=112+124+122+21=10+3.故选D.4.(2017柳州市、钦州市一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为(B)(A)48(B)16(C)32(D)16解析:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥OABCD,正方体的棱长为4,O,A,D分别为棱的中点,所以OD=2,AB=DC=OC=2.作OECD,垂足是E.因为BC平面ODC,所以BCOE,BCCD,则四边形ABCD是矩形.因为CDBC=C,所以OE平面ABCD.因为ODC的面积S=44-22-242=6,所以6=CDOE=2OE,得OE=,所以此四棱锥OABCD的体积V=S矩形ABCDOE=42=16.故 选B.5.导学号 38486131(2017河南、河北、山西三省一模)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点

3、,将ADE与BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为(C)(A) (B) (C)(D)解析:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,则正四面体所在的正方体的棱长为,故外接球半径为,外接球的体积为()3=.故选C.6.(2017广东湛江市二模)底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为(A)(A)(B)(C)(D)解析:底面ABCD外接圆的半径是,即AO=,则PO=,所以四棱锥的外接球的半径为,所以四棱锥的外接球的体积为()3=.故选A.7.导学号 38486132(2017黄山市二模)祖暅(公元前5-6世纪),祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到

4、S圆及S环两截面,可以证明S圆=S环总成立.据此,短轴长为4 cm,长轴为6 cm的椭球体的体积是cm3.解析:因为总有S圆=S环,所以椭半球体的体积等于V柱-V锥=b2a-b2a=b2a,椭球体的体积为V=b2a.因为2b=4,2a=6,所以b=2,a=3,所以,该椭球体的体积是223=16(cm3).答案:168.(2017杭州二模)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由该几何体的三视图,知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体,如图所示,该几何体的体积为V=+=(24)3+(43)4+(24)3=8+24+8=40(cm3);它的表面积为S=+2S梯形ABCD+2=84+2(4+8)+24=(32+16)cm2.答案:40(32+16)9.(2017茂名市一模)过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD,且两两夹角都为60,若球半径为R,则弦AB的长度为(A)(A)R(B)R(C)R(D)R解析:由条件可知ABCD是正四面体,如图,A,B,C,D为球上四点,则球心O为正四面体的中心.设AB=a,则过点B,C,D的

5、截面圆半径r=O1B=BE=a=a,正四面体ABCD的高AO1=a,则截面BCD与球心的距离d=OO1=a-R,所以(a)2=R2-(a-R)2,解得a=R.故选A.能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486133(2017郴州市二模)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(B)(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式V= (S上+S下)h)(A)2寸(B)3寸(C)4寸(D)5寸解析:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.因为积水深9寸,所以水面半径为 (14+6)=10寸,则盆中水的体积为9(62+102+610)=588(立方寸),所以平地降雨量等于=3(寸).故选B.11.(2017淮北市二模)中国古代数学经典九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi no).若三棱锥PABC为鳖臑,且PA平面ABC,PA=AB=2,又该鳖臑的外接球的表面积为24,

6、则该鳖臑的体积为.解析:由题意,三棱锥PABC为鳖臑,且PA平面ABC,PA=AB=2,如图,PAB=PAC=ABC=PBC=90,又该鳖臑的外接球的表面积为24,可知PC为外接球的直径,则R2=6,BC=4,该鳖臑的体积为242=.答案:12.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为.解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则几何体的表面积S=1+9+(1+3)= 26.答案:2613.导学号 38486134已知在直角梯形ABCD中,ABAD,CDAD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC,当三棱锥DABC的体积取最大值时,其外接球的体积为.解析:已知直角梯形ABCD,ABAD,CDAD,AB=2AD=2CD=2,沿AC折叠成三棱锥,如图,则AB=2,AD=1,CD=1,所以AC=,BC=,所以BCAC.取AC的中点E,AB的中点O,连接DE,OE.因为当三棱锥DABC体积最大时,所以此时有平面DCA平面ACB,所以OB=OA=OC=OD,所以OB=1,就是外接球的半径为1,此时三棱锥外接球的体积为13=.答案:

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