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2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第6节　空间向量的运算及应用

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1、第6节空间向量的运算及应用【选题明细表】知识点、方法题号夹角和距离5,7,8,10空间向量的线性运算6,13共线、共面向量定理及应用1,9空间向量的数量积及应用2,3,4,11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.在下列命题中:若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(A)(A)0(B)1 (C)2(D)3解析: a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.在空间四边形ABCD中,+等于(B)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)不确定解析:令=a,=b,=c,则+=a(c-b)+b(a-c

2、)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.3.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)(A)(1,1,1) (B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)解析:设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),所以=(0,0,a),=(-1,1,).因为cos=,所以=a,所以a=2.所以E的坐标为(1,1,1).4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为(C)(A)a2 (B) a2 (C) a2 (D) a2解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.= (a+b),= c,所以= (a+b)c= (ac+bc)= (a2cos 60+a2cos 60)= a2.5.导学号 38486158如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且 AOB=AOC=,则cos的值为(A)(A)0 (B)(

3、C)(D)解析:设=a,=b,=c,由已知条件=,且|b|=|c|,=a(c-b)=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,所以cos=0.6.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.(用a,b,c表示).解析:=+=+=+ (+)=+=+ (-)+ (-)=+=a+b+c.答案: a+b+c7.若向量a=(1,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则=.解析:由条件知|a|=,|b|=3,ab=6-.所以cos=.整理得552+108-4=0,解得=-2或=.答案:-2或8.如图所示,已知二面角l的平面角为(0,),ABBC,BCCD,AB在平面内,BC在l上,CD在平面内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.解析:=+,所以=+2+2+2=1+1+1+2cos(-)=3-2cos ,所以|=,即AD的长为.答案:能力提升(时间:15分钟)9.导学号 38486159O为空间任意一点,若=+,则A,B,C,P四点(B)(A)一定不共面(B)一定共面(C)不一定共面(D)无法判断解析: 因为=+,且+=1.所以P,A,B,C四点共面.

4、10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为(A)(A)a (B)a (C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(, ,),所以|=a.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是.解析:如图所示,由题意,设=,其中0,1,=(+)=(+)=+=1+(-)=1-0,1.因此的取值范围是0,1.答案:0,112.(2017江苏徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是.解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(,2),则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6(-)2-.即当=时,取得最小值-.此时=(, ,).答案:(, ,)13.如图,已知平行六面体ABCDABCD,E,F,G,H分别是棱AD,DC,CC和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.证明:取=a,=b,=c,则=+=+2+=b-a+2a+ (+)=b+a+ (b-a-c-a)=b-c,所以与b,c共面,即E,F,G,H四点共面.14.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=5.(2)令=t(tR),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=,因此存在点E,使得b,此时E点的坐标为(-,-,).

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