中考冲刺：代几综合之动点问题（下）

1、中考冲刺：代几综合之动点问题（下）1. 讨论平行四边形四个顶点往往是“两定两动”。例如：如图A、B为抛物线与坐标轴的两个交点，M、N分别为x轴和抛物线上的动点，使ABMN为平行四边形，确定M、N的位置。讨论定线段AB为边或对角线（1）当AB为边时（2）当AB为对角线时注意：求点坐标时经常过动点向x轴作垂线，利用全等求解。2. 讨论等腰三角形三个顶点往往是“两定一动”。例如：如图A、B为抛物线与坐标轴的两个交点，P为对称轴上动点，使ABP为等腰三角形，确定P的位置。讨论顶角的位置（1）当为顶角时，（2）当为顶角时，（3）当为顶角时，注意：（1）当以定点为顶点时，可以以该点为圆心，两定点长为半径作圆，找交点，就是所求动点。（2）当以动点为顶点时，作两定点的对称轴，与对称轴的交点，就是所求点。3. 讨论相似三角形先判断已知三角形的形状，找出其中的特殊角和边长，再根据相似三角形的判定进行找点。例如：如图A、B、C为抛物线与坐标轴的三个交点，对称轴交x轴于点E，P为对称轴上x轴上方一动点，使PECAOB，确定点P。根据题意可知PEC、AOB都是直角三角形，且可求OA、OB（1）当时（2）当时例题

2、1 （桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1。（1）直接写出抛物线的解析式：。（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A、C，当C落在抛物线上时，求A、C的坐标。（3）除（2）中的点A、C外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A、C的坐标；（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解。答案：解：（1）A（2，0），对称轴为直线x=1，B（4，0），把A（2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2+x+4；（2）由抛物线y=x2+x+4可知C（0，4），抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，C（2，4），A（0，0）；（3）存在设F（x，x2+x+4），以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，

3、若AC为平行四边形的边，如答图11所示，则EFAC且EF=AC。过点F1作F1Dx轴于点D，则易证RtAOCRtE1DF1，DE1=2，DF1=4，x2+x+4=4，解得：x1=1+，x2=1，F1（1+，4），F2（1，4），E1（3+，0），E2（3，0）；若AC为平行四边形的对角线，如答图12所示点E3在x轴上，CF3x轴，点C与点F关于x=1的对称点，F3（2，4），CF3=2，AE3=2，E3（4，0）。综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；点E、F的坐标为：E1（3+，0），F1（1+，4）；E2（3，0），F2（1，4）；E3（4，0），F3（2，4）注：因点F3与点C重合，故此处不确定E3、F3是否满足题意，点拨：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等。解题的关键是根据题意画出图形，根据图形解答问题。例题2 （临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置。（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴

4、上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。解析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B作x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出OPB三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。解答：解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（2，2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x；（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=2，当y

5、=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）；由可知，当OB=OP时P（2，2）。B（2，2）OBP为等边三角形， 此时BP=BO，PB=PO。当BP=BO时，P（2，2），当PB=PO时，P（2，2）综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2）。点拨：本题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方。1. 存在类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。2. 与二次函数动点问题相结合的存在类问题主要有等腰三角形、平行四边形和相似三角形这几大问题，利用分类思想进行讨论是解决问题的关键。例题 （成都）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为。（1）若点的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在

6、第一象限内的抛物线上有一点，使得以为顶点的三角形与相似，求的值。解析：（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是或。按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算。答案：解：（1）由抛物线与轴从左至右依次交于，两点，得，。直线经过点，。直线解析式为：。点的横坐标为，且在直线上，点的坐标为。把代入，解得，抛物线的函数表达式为。（2）易得，由勾股定理得，显然为钝角，与是锐角，所以只有如下两种情况：i）当时，有，则。过作轴于点，则，有，得，可得点坐标为，代入，得，化简得，即，又，。ii）当时，有，则，过作轴于点，则，有，得，可得点坐标为，代入，得，化简得，即，又，。综上，或。点拨：本题考查代数与几何综合应用，涉及二次函数、相似三角形、三角函数、分类讨论、数形结合等相关知识与方法，难度较大。解题的关键在于能根据图形及题意利用相似三角形知识求得相关点的坐标，再通过待定系数法求得值或函数解析式。（答题时间：30分钟）1. 如图，抛物线m：y=ax2+b（a0，b0）与

7、x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1。若四边形AC1A1C为矩形，求a，b应满足的关系式。2. 已知抛物线y=x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，求证：PADPEA。 *3. 如图，射线OC的解析式y=x（x0），在射线OC上取一点A，过点A作AHx轴于点H设抛物线 y=x2（x0）与射线OC的交点为P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH相似，求符合条件的点Q的坐标。4. 如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。*5. 如图，一次函数y=2x的图象与二次函数y=x2+3x图象的对称轴交于点B。已知点P是二次函数y=x2+3x图象在y

8、轴右侧部分上的一个动点，将直线y=2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点若以CD为直角边的PCD与OCD相似，求点P的坐标。*6.（盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD。（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标。7. 如图，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连结PQ。若BPQ与ABC相似，求t的值。8. 如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连结PQ，设运动时间为t（s）（0t3）。（1）写出A，B两点的坐标；（2）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标。1. 解：令x=0，得：y=b，C（0，b）。令y=0，得：ax2+b=0，x=，A（，0），B（，0），AB=2，BC=，要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AA1=CC1，即AB=BC2=4（）=b2，ab=3，a，b应满足关系式ab=3。2. 解：令x=0，则y=1，OP=1，设点A的横坐标为m，则AD=m2+1，ABy轴，ADx轴，AF=OD=m，OF=m2+1，PF=1（m2+1）=m2，在RtPAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，在RtPOD中，PD=，由ABx轴得，PEFPDO，

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