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2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第六篇第4节　基本不等式

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卖家[上传人]：猪子****y

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1、第 4 节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明 2,3 利用基本不等式求最值 1,4,7,9,11,13 基本不等式的实际应用 6,12,14 基本不等式的综合应用 5,8,10 基础巩固(时间:30 分钟) 1.已知 f(x)=x+-2(xlg x(x0) (B)sin x+2(xk,kZ) (C)x2+12|x|(xR) (D)1(xR) 解析:当 x0 时,x2+2=x,所以 lg(x2+)lg x(x0),故选项 A 不正确;当 2k-0,n0)过点(1,-2),则 +最小值( D ) (A)2(B)6 (C)12 (D)3+2 解析:因为直线 2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2), 所以 2m+2n-2=0,即 m+n=1, 因为 +=( +)(m+n)=3+ +3+2, 当且仅当 =,即 n=m 时取等号, 所以 +的最小值为 3+2, 故选 D. 6.(2017河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱 AB 上任取一点 P(与 A,B 都不重合),若点 P 到平面 BCD 及平面

2、ACD 的距离分别为 a,b,则+的最小值为( C ) (A)(B)4(C)(D)5 解析:由题意可得, aSBCD+bSACD=hSBCD,其中 SBCD=SACD,h 为正四面体 ABCD 的高. h=2, 所以 a+b=2. 所以+= (a+b)( +)= (5+) (5+2)=, 当且仅当 a=2b=时取等号. 故选 C. 7.设 x,yR,且 xy0,则(x2+)(+4y2)的最小值为 . 解析:(x2+)(+4y2)=5+4x2y25+2=9,当且仅当 x2y2= 时“=”成立. 答案:9 8.(2017洛阳二模)设 a0,b0.若是 3a与 32b的等比中项,则+的最小值为 . 解析:根据题意,若是 3a与 32b的等比中项, 则有 3a+2b=3,则有 a+2b=1; 则+=(a+2b)( +)=4+(+)4+2=8, 当且仅当 a=2b=时,等号成立. 即+的最小值为 8. 答案:8 能力提升(时间:15 分钟) 9.若对于任意的 x0,不等式a 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A ) (A),+)(B)(,+) (C)( -,)(D)(-, 解析:由 x0

3、,=, 令 t=x+,则 t2=2, 当且仅当 x=1 时,t 取得最小值 2.此时取得最大值, 所以对于任意的 x0,不等式a 恒成立,则 a.故选 A. 10.导学号 38486114(2017揭阳一模)已知抛物线 y=ax2+2x-a- 1(aR),恒过第三象限上一定点 A,且点 A 在直线 3mx+ny+1=0(m0,n0)上,则 +的最小值为( B ) (A)4(B)12 (C)24 (D)36 解析:抛物线 y=ax2+2x-a-1(aR), 即 y+3=(x+1)(ax-a+2), 所以 A(-1,-3),所以 m+n=, 又 +=+=6+3( + )6+6=12, 当且仅当 m=n 时等号成立. 故选 B. 11.(2017山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0), 其中 O 为坐标原点,a0,b0,若 A,B,C 三点共线,则+的最小值为( C ) (A)4(B)6(C)8(D)9 解析:=(a-1,1),=(-b-1,2), 因为 A,B,C 三点共线,所以 2(a-1)-(-b-1)=0,化为 2a+b=1. 又 a0,b0,则+=(2a

4、+b)( +)=4+4+2=8,当且仅当 b=2a=时取等号. 故选 C. 12.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨, 运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 . 解析:一年的总运费为 6=(万元). 一年的总存储费用为 4x 万元. 总运费与总存储费用的和为(+4x)万元. 因为+4x2=240, 当且仅当=4x, 即 x=30 时取得等号, 所以当 x=30 时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案:30 13.已知 x0,y0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; (2)求+的最小值. 解:(1)因为 x0,y0, 所以由基本不等式, 得 2x+5y=202. 即 xy10,当且仅当 2x=5y 时等号成立,此时 x=5,y=2, 所以 u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1. 所以当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. (2)因为 x0,y0,所以+=(+)=(7+)(7+2) =,当且仅当=时等号成

5、立. 所以+的最小值为. 14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解:(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为米. 总造价 f(x)=400(2x+)+2482x+80162 =1 296x+12 960=1 296(x+)+12 9601 2962+12 960=38 880, 当且仅当 x=(x0), 即 x=10 时取等号. 所以当污水处理池的长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,总造价最低为 38 880 元. (2)由限制条件知所以x16. 设 g(x)=x+(x16), g(x)在,16上是增函数, 所以当 x=时(此时=16), g(x)有最小值,即 f(x)有最小值, 即 f(x)min=1 296 (+)+12 960=38 882. 所以当污水处理池的长为 16 米,宽为米时总造价最低,总造价最低为 38 882 元.

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