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2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4_

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常见问题

1、选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法1. 已知矩阵A，B满足AXB，求矩阵X.解：设X，由得解得所以X.2. 已知变换矩阵A：平面上的点P(2，1)，Q(1，2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0，5)，求变换矩阵A.解：设所求的变换矩阵A，依题意，可得及，即解得所以所求的变换矩阵A.3. 已知M，N，求二阶矩阵X，使MXN.解：设X，由题意有，根据矩阵乘法法则有解得 X.4. 曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21，求实数a，b的值解：设P(x，y)为曲线x22y21上任意一点，P(x，y)为曲线x24xy2y21 上与P对应的点，则，即代入x22y21得(xay)22(bxy)21，整理得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，又x24xy2y21，所以解得5. (2017扬州中学期初)已知点M(3, 1)绕原点按逆时针旋转90后，在矩阵A对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a，b的值解：由题意，又，所以解得6. 已知曲线C: y22x在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线

2、C2的方程解：设ANM，则A，设P(x，y)是曲线C上任一点，在两次变换作用下，在曲线C2上的对应点为P(x, y)，则，即又点P(x，y)在曲线C: y22x上， 22y，即曲线C2的方程为yx2.7. 设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.求实数a，b的值解：设曲线2x22xyy21上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换作用下得到点P(x，y)，则，所以因为x2y21，所以(ax)2(bxy)21，即(a2b2)x22bxyy21，所以解得8. 求圆C：x2y21在矩阵A对应的变换作用下所得的曲线的方程解：设圆C上任一点(x1，y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x，y)，则，则x1，y1，代入x2y21得所求曲线的方程为1.9. 已知矩阵A，B.若矩阵AB对应的变换把直线l：xy20变为直线l，求直线l的方程解： A，B， AB.在直线l上任取一点P(x，y)，设它是由l上的点P0(x0，y0)经矩阵AB所对应的变换作用所得，点P0(x0，y0)在直线l：xy20上， x0y020.又AB，即， .将代入得xyy20，即4xy80

3、，直线l的方程为4xy80.10. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，3)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(y4，y2)，求M2.解：依题意，即解得M2，所以M2.11. 已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，得到曲线C2：y21，求实数m的值解：BA，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P(x，y)，则，则即又点P在曲线C1上，则y21，所以m21，所以m1.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1. 已知变换T：，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A1. 解：由T：，得A.设A1，则AA1，所以解得所以A1.2. (2017苏北四市期末)已知矩阵A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为.求实数a，b的值解：由条件知，A2，即2，即，所以解得3. (2017扬州期末)已知a，bR，若点M(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(2，7)，求矩阵A的特征值解：由题意得，即解得所以A，所以矩阵A的特征多项式为f()2815.令f()0，解得5或3，即矩阵A的特征值为5和3.4. 已知二阶矩阵A，

4、矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2，求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即1，得同理可得解得因此矩阵A.5. 已知矩阵A，A的逆矩阵A1，求A的特征值解：AA1 , ，则解得 A ，A的特征多项式f()(3)(1)令f()0，解得3或1. A的特征值为3和1.6. 已知矩阵A.若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值解：因为3，则解得所以A.由f()(1)240，所以(1)(3)0，解得11，23.所以另一个特征值是1.7. 已知a，bR，矩阵A，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值5的一个特征向量为2.求矩阵A，并写出A的逆矩阵解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，得， 3ab3.由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为2，得5， ab5.联立，解得即A. A的逆矩阵A1.8. 设是矩阵M的一个特征向量(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵M的特征值解：(1) 设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，故解得 a1.(2) 令f()(1)(2)60，解得 14，21.9. 已知矩阵A将直线l：xy10变换成直线l.(1) 求直线l的方程；(2) 判断矩阵A是否可逆若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A1；若不可逆，请说明理由解：(1) 在直线l上任取一点P(x0，y0)，设它在矩阵A对应的变换作用下变为Q(x，y) ，即点P(x0，y0)在直线l：xy10上， 10，即直线l的方程为4xy70.(2) det(A)70，矩阵A可逆设A1， AA1，解得 A1.10. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(y2，y)，求M1.解：依题意，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵M1，所以M1.11. (2017南通、泰州期末)已知向量是矩阵A属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，求矩阵A.解：设A，因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，所以(1).所以因为点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，所以，所以解得所以A.

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