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2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第一讲一　平面直角坐标系

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常见问题

1、课时作业A组基础巩固1ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(3,0)，(5,1)，则D点的坐标为()A(9，1)B(3,1)C(1,3) D(2,2)解析：设D点坐标为(x，y)，根据AC的中点与BD的中点重合，得即故选C.答案：C2将点P(2,2)变换为P(6,1)的伸缩变换公式为()A. B.C. D.解析：因为P(2,2)，P(6,1)，而623,12，故故选C.答案：C3动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A直线 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：因为点M(2,2)在直线xy40上，故动点P的轨迹是过点M且垂直于直线xy40的直线，选A.答案：A4在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为正弦曲线ysin x在此变换下得到的曲线的方程是()Ay2sin 2x Bysin 2xCysin 2x Dy sin 2x解析：由题知代入ysin x得ysin 2x.ysin 2x，即是ysin 2x为所求，故选B.答案：B5给出以下四个命题，其中不正确的一个是()A点M(3,5)经过：变换后得到点M的坐标为(5,3)B函数y2(x1)22经过平

2、移变换 1：后再进行伸缩变换 2：最后得到的函数解析式为yx2C若曲线C经过伸缩变换：变换后得到的曲线方程为x2y21，则曲线C的方程是4x29y21D椭圆1经过伸缩变换变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x轴上解析：对于A：将代入得故M(5，3)，正确；对于B：y2(x1)22经1变换后得到y2x2，再将代入得8y8x2即yx2，因此最后所得函数解析式为yx2正确；对于C：将代入x2y21得4x29y21，故变换前方程为4x29y21也正确对于D：设伸缩变换：则当4，3时变换后的图形是圆x2y21，当4，1时变换后的图形为椭圆x21，此时焦点在y轴上，故D不正确答案：D6若曲线C1：x2y20与C2：(xa)2y21的图象有3个交点，则a_.解析：x2y20(xy)(xy)0xy0或xy0，这是两条直线由题意，要使C1与C2有3个交点，必有如图所示情况：由图(xa)2y21过原点，则a21，即a1.答案：17ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为_解析：ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10，其中|BC|4，则有|AB|AC|64，点

3、A的轨迹为除去两点的椭圆，且2a6,2c4.a3，c2，b25.点A的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)8已知函数f(x)，则f(x)的最小值为_解析：f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(1,1)和(1,1)的距离之和，数形结合可得f(x)的最小值为2.答案：29ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点的轨迹方程解析：取B，C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则D(0,0)，B(2, 0)，C(2，0)设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，则|AD|，又| AD|3，3，即x2y29(y0)A点的轨迹方程为x2y29(y0)10求4x29y21经过伸缩变换后的图形所对应的方程解析：由伸缩变换得将其代入4x29y21，得4(x)29(y)21.整理得：x2y21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为x2y21.B组能力提升1已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：由题意，得(4,0)，(x2，y)，(x2，y)

4、，由|0得44(x2)0，整理得y28x.答案：B2在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B.C. D.解析：设则ysin x，即ysin x.比较y3sin 2x与ysin x，可得3，2，2.答案：B3把圆x2y216沿x轴方向均匀压缩为椭圆x21，则坐标变换公式是_解析：设变换公式为代入x21中得2x21，即：162x22y216，与x2y216比较得所以答案：4台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为_h.解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M， N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.答案：15已知AD，BE，CF分别是ABC的三边上的高，求证：AD，BE，CF相交于一点证明：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高所在直线AD为y轴，建立直角坐标系不妨设点的坐标分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)根据斜率公式得kAB，kAC，kBC0，又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程，容易求出三条高所在的直线方程分别为AD：x0，BE：cxaybc0，CF：bxaybc0.这三个方程显然有公共解x0，y，从而证明了三角形的三条高相交于一点6求证：过椭圆1(ab1)上一点P(x0，y0)的切线方程为1.证明：证法一将椭圆1(ab1)上的点(x，y)按：变换为1，即得圆x2y2a2，椭圆上的点P(x0，y0)的对应点为P(x，y)，即P在圆x2y2a2上可得过圆x2y2a2上的点P的切线方程为x0xy0y2a2，该切线方程按：变换前的直线方程为x0xy0ya2，即1，这就是过椭圆1(ab1)上一点P(x0，y0)的切线方程证法二由椭圆的对称性，只需证明椭圆1在x轴上方部分即可，由题意，得y ，y，所以ky|xx0.由直线的点斜式方程，得切线的方程为yy0(xx0)，即b2x0xa2y0yb2xa2ya2b2，所以1为切线方程

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