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2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第4节　直接证明与间接证明、数学归纳法

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常见问题

1、第 4 节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法 1,3,4,5,7,8,9,13 反证法 2 数学归纳法 6,10,15 推理与证明的综合应用 11,12,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.命题“如果数列an的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立( B ) (A)不成立 (B)成立 (C)不能断定 (D)与 n 取值有关解析:因为 Sn=2n2-3n,所以 n=1 时 a1=S1=-1, 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1 时适合 an, 且 an-an-1=4, 故an为等差数列,即命题成立.故选 B. 2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( B ) (A)a,b,c 中至少有两个偶数 (B)a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 (C)a,b,c 都是奇数 (D)a,b,c 都是偶数解析:a,b,c 恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有 a,b,c 均为奇数或 a,b,

2、c 至少有两个偶数.故选 B. 3.设 a=-,b=-,c=-,则 a,b,c 的大小顺序是( A ) (A)abc (B)bca (C)cab (D)acb 解析:因为 a=-=,b=-=, c=-=, 又因为+0,所以 abc. 故选 A. 4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 abc,且 a+b+c=0, 求证0 (B)a-c0 (C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0 (a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选 C. 5.设 00,b0,a,b 为常数,+的最小值是( C ) (A)4ab (B)2(a2+b2) (C)(a+b)2 (D)(a-b)2 解析:(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当 x=时,等号成立.故选 C. 6.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( A ) (A)(k+3)3 (B)(k+2)3 (C)(k+1)3 (D)(k+1)3+(k+2)3 解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整

3、除, 即 k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将 (k+3)3展开,让其出现 k3即可.故选 A. 7.(2016兰州调研)已知 a,b 是不相等的正数,x=,y=, 则 x,y 的大小关系是 . 解析:因为(ab)a+b22(a+b)a+b+2a+b , 即 x0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则( A ) (A)PQ(B)P0,所以 P2; 又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而 sin 2x1,所以 Q2. 于是 PQ.故选 A. 10.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( C ) (A)n+1(B)2n (C)(D)n2+n+1 解析:1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域; ;n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+n)=1+= 个区域.故选 C. 11.(2017邯郸模拟)

4、设 a,b 是两个实数,给出下列条件: a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 .(填序号) 解析:若 a=,b=,则 a+b1, 但 a2,故推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab1,故推不出; 对于,反证法:假设 a1 且 b1, 则 a+b2 与 a+b2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 答案: 12.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间-1,1内至少存在一点 c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是 . 解析:法一 (补集法)令解得 p-3 或 p, 故满足条件的 p 的范围为(-3,). 法二 (直接法)依题意有 f(-1)0 或 f(1)0, 即 2p2-p-1bcd0 且 a+d=b+c, 求证:+0), 则 F(x)=-1=0). 函数 F(x)为(0,+)上的减函数,所以 F(x)0), 从而 ln(1+),1-1-ln(1+), an=1-1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以 Sn(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以 Snn-ln().

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