2019届高三数学(理)人教版一轮训练:第八篇第6节 曲线与方程
12页1、第6节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程、直接法求轨迹方程1,10定义法、待定系数法求轨迹方程4,6,8,11,13,15相关点法(代入法)求轨迹方程3,7,9,12,14向量法、参数法求轨迹方程2,5基础巩固(时间:30分钟)1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是(C)(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对解析:由(x-y)2+(xy-1)2=0解得或故选C.2.已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足|+|=2,则P点的轨迹方程是(A)(A)4x2+4y2-4x-8y+1=0(B)4x2+4y2-4x-8y-1=0(C)8x2+8y2+2x+4y-5=0(D)8x2+8y2-2x+4y-5=0解析:设P点的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得4x2+4y2-4x-8y+1=0.故选A.3.(2017普陀区二模)动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为(B)(A)y=2
2、x2(B)y=4x2(C)y=6x2(D)y=8x2解析:设PQ中点M为(x,y),则P(2x,2y+1)在抛物线y=2x2+1上,即(2y+1)=2(2x)2+1,所以y=4x2.故选B.4. 设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为+=1.故选D.5.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称, O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是(A)(A) x2+3y2=1(x0,y0)(B) x2-3y2=1(x0,y0)(C)3x2-y2=1(x0,y0)(D)3x2+y2=1(x0,y0)解析:设A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2,得(x,y-b)=2(
3、a-x,-y),所以即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).故选A.6.(2017安徽黄山市二模)在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为(A)(A)C3,C1,C2(B)C1,C2,C3(C)C3,C2,C1(D)C1,C3,C2解析:ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10,又BC=4,所以AB+AC=6BC,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;ABC的面积为10,所以BC|y|=10,即|y|=5,与C1对应;因为A=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.7.直线+=1与x,y轴交点的中点的轨迹方程是.解析:直线+=1与x,y轴的交点为A(a,0),B(0
4、,2-a),设AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1.因为a0且a2,所以x0且x1.答案:x+y=1(x0且x1)8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是.解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:+=1(y0)能力提升(时间:15分钟)9.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1.设P(x,y),则(0y1),所以y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可
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