2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 达标检测

1、达标检测 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1若 abc，则( ) 1 bc 1 ac A大于 0 B小于 0 C小于等于 0 D大于等于 0 解析：abc，acbc0， 0.故选 A. 1 ac 1 bc 1 bc 1 ac 答案：A 2已知 ab0，bbba Babab Cabba Dabab 解析：ab0，bb0,0ba， abba. 答案：C 3若 logxy2，则 xy 的最小值是( ) A. B 332 2 233 3 C. D 3 2 3 2 3 2 解析：由 logxy2 得 y，而 xyx 33 1 x2 1 x2 x 2 x 2 1 x2 3 x 2 x 2 1 x2 3 1 4 3 2 . 3 2 答案：A 4已知|xa|0，b0，ab1，则的最小值是( ) ( 1 a21)( 1 b21) A6 B7 C8 D9 解析：( 1 a21)( 1 b21) 1a1a1b1b a2b2 1， 1a1b ab 2 ab ab1，21. ab ab ，

2、9. 1 4 ( 1 a21)( 1 b21) 答案：D 11不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围 为( ) A(，14，) B(，25，) C1,2 D(，12，) 解析：因为4|x3|x1|4，且|x3|x1|a23a 对任意 x 恒成立， 所以 a23a4，即 a23a40， 解得 a4，或 a1. 答案：A 12设 0 时，原不等式转化为 4x6x ； 1 2 3 2 当 x 时，原不等式转化为 26，恒成立； 1 2 1 2 当 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 的最小值是_ ab2 cd 解析：因为 x，a，b，y 成等差数列，所以 xyab， 又 x，c，d，y 成等比数列，所以 xycd， ab2 cd xy2 xy x2y22xy xy x y 2224，当且仅当 xy 时，取等号 y x x y y x 答案：4 15已知不等式(xy)9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小 ( 1 x a y) 值为_ 解析：(xy)1a 1a2， ( 1 x a y) y x xa ya

3、 1a29，即 a280，故 a4. aa 答案：4 16. 下面四个命题：若 ab，c1，则 alg cblg c； 若 ab，c0，则 alg cblg c； 若 ab，则 a2cb2c； 若 a0，则 . c a c b 其中正确命题有_(填序号) 解析：不正确，因为 00，且 x3y4z6，求 x2y3z 的最大值 解析：6x3y4z yyy4z6， x 2 x 2 6 x2y3z x2y3z1(当 y4z 时，取“”) x 2 x2，y1，z 时，x2y3z 取得最大值 1. 1 4 18(12 分)已知 ab0，且 ab，试比较 与 的大小 1 a 1 b 解析： ， 1 a 1 b ba ab ab0，ab，ba0， ， ba ab 1 a 1 b 如果 ab0，2 时，原不等式等价于 Error!x2. 当3x2 时，原不等式等价于 Error! 6 5或x 0，b0，求证：9. (ab 1 a)(a2 1 b 1 a2) 证明：因为 a0，b0，所以 ab 330. 1 a 3 ab1 a 3 b 同理可证 a2 30. 1 b 1 a2 3 1 b 由，结合不等式的

4、性质得 (ab 1 a)(a2 1 b 1 a2) 339， 3 b 3 1 b 当 ab1 时，取等号 21(13 分)已知函数 f(x)|xa|. (1)若不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值 范围 解析：(1)由 f(x)3 得|xa|3， 解得 a3xa3. 又已知不等式 f(x)3 的解集为x|1x5， 所以Error!解得 a2. (2)法一：当 a2 时，f(x)|x2|. 设 g(x)f(x)f(x5)， 于是 g(x)|x2|x3|Error! 所以当 x5； 当3x2 时，g(x)5； 当 x2 时，g(x)5. 综上所述，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立 则 m 的取值范围为(，5 法二：当 a2 时，f(x)|x2|. 设 g(x)f(x)f(x5) 由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)得，g(x) 的最小值为 5. 从而，若 f(x)f(x5)m 即 g

5、(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为 (，5 22(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横 方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径” 如图 所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径” 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20)， B(10,0)，C(14,0)处现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建 一个文化中心 (1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)； (2)若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保 护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小 解析：设点 P 的坐标为(x，y) (1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x3|y20|， xR，y0，) (2)由题意知，点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到 三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值 当 y1 时，d|x10|x14|x3|2|y|y20|. 因为 d1(x)|x10|x14|x3|x10|x14|，(*) 当且仅当 x3 时，不等式(*)中的等号成立 又因为|x10|x14|24，(*) 当且仅当 x10,14时，不等式(*)中的等号成立， 所以 d1(x)24，当且仅当 x3 时，等号成立 d2(x)2|y|y20|21，当且仅当 y1 时，等号成立 故点 P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小 值为 45. 当 0y1 时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以 d|x10|x14|x3|1|1y|y|y20|，此时，d1(x) |x10|x14|x3|， d2(y)1|1y|y|y20|22y21. 由知，d1(x)24，故 d1(x)d2(y)45，当且仅当 x3，y1 时等号成立 综上所述，在点 P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路 径”长度之和最小

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