数学模型课件M02章节
67页1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。,现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席,又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时,分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ,对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方
2、案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ,即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ,定义,1)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,则这席应给 A,2)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,3)若 p1/n1 p2/(n2+1),,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问:,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现?,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数
3、部分已将19席分配完毕,甲系:p1=103, n1=10 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系:p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大,第21席给丙系,甲系11席,乙系6席,丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗?,Q1最大,第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗?,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N),,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数,显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则:,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整; qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm )
4、 ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时, ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2),Q值方法满足 2),但不满足 1)。令人遗憾!,问 题,在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目?,要求,不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗?,2.2 录像机计数器的用途,经试验,一盘标明180分钟的录像带从头走到尾,时间用了184分,计数器读数从0000变到6061。,录像机计数器的工作原理,录像带运动,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢!,模型假设,录像带的运动速度是常数 v ;,计数器读数 n与右轮转数 m成正比,记 m=kn;,录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 w;,空右轮盘半径记作 r ;,时间 t=0 时读数 n=0 .,建模目的,建立时间t与读数n之间的关系,(设v,k,w ,r为已知参数),模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总
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