数学建模实用教程课件韩中庚34573第6章层次分析方法

1、2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,2,第6章 层次分析方法,层次分析的一般方法,不完全层次分析方法 -案例：物流企业的综合评价问题,主要内容,层次分析法的几点说明,多层次分析的方法 -案例：选拔优秀参赛队员问题,-层次结构图、比较矩阵、 权重向量、一致性检验,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,3,一、一般问题的提出,问题6-1 最佳工作的选择问题,某大学的一位即将毕业的大学生，已参加了多家用人单位的招聘面试，结果他收到了3家用人单位的录用通知 该学生根据选择工作时所考虑的因素，将三家单位相应的条件进行了比较 问题：请你帮助该生毕业生析一下，哪家单位是他的最佳选择？,噢! 这些问题遇到过，但没仔细想过用建模方法来解决！,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,4,表6-1 三个用人单位的基本情况,一、一般问题的提出,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,5,一、一般问题的提出,问题6-2 选拔优秀参赛队员问题,在一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员问题这是一个最实际的问题，而且，这也是首先需要解

2、决的数学建模问题,一般认为，要解决这个问题，主要是根据队员的实际能力和水平来选拔优秀的队员能够反映队员能力和水平的主要条件依次为：有关学科成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、团结协作能力等,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,6,一、一般问题的提出,假设所有参选的队员都接受了同样的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素的影响，参赛队员都能正常发挥自己的水平,问题6-2 选拔优秀参赛队员问题,问题：如何依据参选队员的实际条件，做综合分析，从多名参选队员中选择出一部分优秀的队员代表学校参加竞赛,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,7,一、一般问题的提出,某投资者欲在中部地区投资，该地区有多个市对他的投资表示欢迎，并且提供了多种不同的优惠条件在对各种条件进行初步分析之后，该投资者将他的备选投资地削减到三个，记为甲、乙和丙 表6-给出了该投资者搜集的甲、乙、丙三个市的相关信息，而且该投资者认为选择投资地的主要影响因素依次为：地区工资水平、办公成本（这里以商务楼的租金来度量）、市场规模、交通便利性和社会安全性,问题6-3 最优投资地的选择问题

3、,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,8,一、一般问题的提出,问题：请你帮这位投资者分析一下哪个投资地是最好的？,问题6-3 最优投资地的选择问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,9,一、一般问题的提出,问题6-4 科研成果的评价问题,高等院校、科研部门等单位常常要对多项科研成果进行评价，从中选出最优的科研成果对于直接能转化为科技产品、产生经济效益的科研成果来说，考虑的评价因素有效益、水平、规模其中效益包含直接经济效益、间接经济效益和社会效益；水平学包括学识水平、学术创新、技术水平和技术创新，各因素之间的关系 问题：如何根据这些因素来综合评价科研成果，使评价的结果更合理、更科学、更具有民主性呢？,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,10,一、一般问题的提出,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,11,二、层次分析的一般方法,层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP）是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法,特点：将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，其本质是一种层次化的思

4、维过程,用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，特别适合于解决那些难于完全用定量方法处理的复杂问题。例如，资源分配、选优排序、军事管理、决策预报等领域,1、层次分析法的思想方法及用途,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,12,二、层次分析的一般方法,2、层次分析法的基本步骤,分析实际问题中各因素之间的关系，建立实际问题的递阶层次结构一般分为三层：目标层、准则层、方案层（或对象层）,对于同一层次的各因素对上一层中某一准则（或目标）的重要性（或影响）进行两两比较，构造两两比较矩阵。,由比较矩阵计算各因素对于每一准则的相对权重，并进行比较矩阵的一致性检验,计算方案层对目层标的组合权重，进行组合一致性检验，并依据权重大小进行综合排序。,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,13,二、层次分析的一般方法,2.1 建立层次结构图,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,14,二、层次分析的一般方法,例如：问题6-1“选择最佳工作问题”的层次结构图如下图所示,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,15,二、层次分析的一

5、般方法,2.2 构造两两比较矩阵,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,16,二、层次分析的一般方法,表6-3 比例标度值,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,17,2.2 构造两两比较矩阵,二、层次分析的一般方法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,18,二、层次分析的一般方法,2.2 构造两两比较矩阵,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,19,二、层次分析的一般方法,我晕！谁能告诉我：矩阵A中的数是怎么得到的呀？,2.2 构造两两比较矩阵,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,20,二、层次分析的一般方法,2.2 构造两两比较矩阵,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,21,二、层次分析的一般方法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,22,二、层次分析的一般方法,2.2 构造两两比较矩阵,例如，问题6-1中方案层三个单位对准则层中五个因素的两两比较矩阵：,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,23,二、层次分析的一般方法,2.3 确定相对权重向量,常用的向量变换方法：归一化法,2019/6/21

6、,数学建模实用教程高教出版社,24,二、层次分析的一般方法,2.3 确定相对权重向量,（1）特征根法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,25,二、层次分析的一般方法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,26,二、层次分析的一般方法,2.3 确定相对权重向量,（2）和法（算术平均法）,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,27,二、层次分析的一般方法,2.3 确定相对权重向量,（2）和法（算术平均法）,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,28,二、层次分析的一般方法,2.3 确定相对权重向量,（3）根法（几何平均法）,根法的步骤与和法的步骤基本相同，只需将第二步改为：,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,29,二、层次分析的一般方法,例如，用和法求前面所构造比较矩阵A2的最大特征根及特征向量：,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,30,二、层次分析的一般方法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,31,二、层次分析的一般方法,2.4 一致性检验,在实际中 ，用1-9比例标度构造构造一致阵是不太容易的，大多数

7、3阶及3阶以上的两两比较矩阵不是一致阵事实上只要不一致程度在一定的容许范围内，就认为构造的正互反矩阵是合适的 Saaty给出衡量比较矩阵不一致程度的指标,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,32,2.4 一致性检验,二、层次分析的一般方法,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,33,二、层次分析的一般方法,2.4 一致性检验,表6-4所给出的向量均可以作为方案层对准则层的相对权重向量,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,34,二、层次分析的一般方法,2.5 确定组合权重向量和组合一致性检验,（1）组合权重向量,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,35,二、层次分析的一般方法,（1）组合权重向量,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,36,二、层次分析的一般方法,（2）组合一致性检验,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,37,二、层次分析的一般方法,（2）组合一致性检验,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,38,二、层次分析的一般方法,2.5 确定组合权重向量和组合一致性检验,2019/6/21,数学建模实用

8、教程高教出版社,39,二、层次分析的一般方法,2.5 确定组合权重向量和组合一致性检验,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,40,三、多层次分析方法,多层次分析方法,层次分析法是解决半定性与半定量问题的一种简便、实用的方法，建立实际问题的层次结构图及构造两两比较矩阵是用层次分析法解决实际问题的两个关键步骤 在实际中，要深入研究实际问题，将有关的因素按照不同的属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素同时又支配下一层的因素，而且同一层的各因素之间尽量相互独立,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,41,三、多层次分析的方法,当准则数量过多（比如多于9个）时，应进一步分解出子准则层，将中间层准则层分为几个子层 构造两两比较矩阵是整个层次分析的数据依据，在实际中应由经验和知识丰富、判断能力强的专家或群体完成 如果一致性检验没有通过，要反复修正比较矩阵，直到通过一致性检验为止,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,42,三、多层次分析的方法,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,1问题的提出 设某学校数学建模教练组根据实际需要，拟从报名参赛的2

9、0名队员中选出15名优秀队员代表学校参赛表6-6给出了20名队员的基本条件的量化情况。 请根据这些条件对20名队员进行综合评价，从中选出15名综合素质较高的优秀队员,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,43,表6-6 各队员的主要条件,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,44,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2问题的分析与假设 这是一个半定性与半定量、多因素的综合选优排序问题鉴于数学建模竞赛不仅要考查学生的学科知识、还要考查学生的写作能力、计算机应用能力、团结协助能力等多方面的因素，要从20名队员中选拔出优秀参赛队员，就要对表6-7中所列的六个因素进行比较分析，综合排序选优。 模型的假设： （1）题目中所确定的考评条件是合理的，能够反映出参选队员的建模能力；,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,45,（2）各参选队员的量化得分是按统一的量化标准得出的； （3）对参选队员的量化打分是公平的，所有参选队员对打分结果无异议； （4）选拔队员所考虑的六个因素在选拔优秀队员中所起的作用依次为学科知识竞赛成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、团结协助能力，并且相邻两个因素的影响程度之差基本相同,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,46,模型的建立与求解,建立如下图所示的层次结构图 第一层为目标层：选拔优秀参赛队员； 第二层为准则层：选拔优秀队员时所考虑的6个因素，依次为学科知识竞赛成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、协助能力； 第三层为方案层：参选的20名队员,（1）建立层次结构图,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,47,（1）建立层次结构图,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教出版社,48,模型的建立与求解,（2）确定准则层对目标层的权重向量,【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题,2019/6/21,数学建模实用教程高教

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