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数学1.4导数的实际应用

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常见问题

1、1.4 生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。,例1. 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2 ,上、下两边各空2dm左、右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？,则有 xy=128，（）,另设四周空白面积为，,则,（）,由（）式得：,代入（）式中得：,x,y,2,1,1,1,解法二：由解法(一)得,题型2 费用最省问题例2：(2011 年山东)某企业拟建造如图 141 所示的容器 (不计厚度，单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端,均为半球形，按照设计要求容器的体积为,80 3,立方米，且 l2r.,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3) 千元设该容器的建造费用为 y千元 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域 r；,(2)求该容器的建造费用最小时的 r.,图 141,解题思路：(1)先求出 l 和 r 的

2、关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域(2)利用导数求函数的最值先求导，再判断函数的单调性，然后根据函数单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,利用导数解决优化问题的基本思路：,例2.（2011年江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx（cm）,（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm2）最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值,9解：(1)根据题意，有S6024x2(602x)2240x8x28(x15)21 800，(0x30), 所以当x15 cm时，包装盒侧面积S最大,(2)根据题意，有 V(x)2(602x)2 x2(30x)，(00，V递增；当20x30时，V0，V递减所以，当x20时，V取得极大值也是最大值此时，包装盒的高与底面边长的比值为 . 即当x20时，包装盒容积V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.,某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？,房价应订为多少,解:设宾馆定价为(18010x)元时，宾馆的利润最大,课堂总结：解决优化问题的步骤,1.写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)；(特别注意定义域) 2.求函数的最值;（利用导数、基本不等式、二次函数等工具） 3.依据实际问题的意义给出答案。,

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