数学1.4.21函数的周期性
14页1、第一课时,1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么?二者有何相互联系?,2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律,如年有四季更替,月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性,在函数领域里,周期性是函数的一个重要性质.,函数的周期性,知识探究(一):周期函数的概念,思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2个单位重复出现, 这一规律的理论依据是什么?,.,思考2:设f(x)=sinx,则 可以怎样表示?其数学意义如何?,思考3:为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2k为这个函数的周期.一般地,如何定义周期函数?,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.,思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦函数的周期有哪些?,思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少?为什么?,正、余弦函数是周期函
2、数,2k(kZ, k0)都是它的周期,最小正周期是2,思考6:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?,知识探究(二):周期概念的拓展,思考1:函数f(x)=sinx(x0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x0)是否为周期函数?,思考2:函数f(x)=sinx(x0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x3k)是否为周期函数?,思考3:函数f(x)=sinx,x0,10是否为周期函数?周期函数的定义域有什么特点?,思考4:函数y=3sin(2x4)的最小正周期是多少?,思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(x)的周期是多少?,理论迁移,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x2)f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?,例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x1)=f(x1),且当x0,2时,f(x)=x4,求f(10)的值.,小结作业,1.函数的周期性是函数的一个基本性质,判断一个函数是否为周期函数,一般以定义为依据,即存在非零常数T,使f(xT)=f(x)恒成立.,2.周期函数的周期与函数的定义域有关,周期函数不一定存在最小正周期.,3.周期函数的周期有许多个,若T为周期函数f(x)的周期,则T的整数倍也是f(x)的周期.,4.函数 和 的最小正周期都是 ,这是正、余弦函数的周期公式,解题时可以直接应用.,作业:P36练习:1,2,3.,
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