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数学1.3.2函数的极值与导数

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常见问题

1、函数的极值与导数,2、用导数法确定函数的单调区间的步骤：,（3）求解不等式 ,求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递增区间,求解不等式 ,求得其解集，再根据解集与定义域写出单调递减区间,(1) 求函数的定义域,（2）求出函数的导函数,即求,1 、函数的单调性与导数的关系：,一、复习,求函数y=2x3-6x2+7的单调区间，画出其草图,二、课前练习,三.问题情境,观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,问题1：函数在X=0的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？,2,f(0)是函数的一个极大值；,问题2：函数在X=2的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？,f(2)是函数的一个极小值。,A,B,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,定义:函数极值（extreme value）,A,B,2,注： f(x0) - 极值点x-极值点,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，则称f(x0)是函数的一个极大值,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，则称f(x0)是函数的一个极小值,四、探索思考,函数y= f(x)在哪些点取得极大值？哪些点取

2、得极小值？,函数的极大值一定大于极小值吗?, y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？,o,a,X1,X2,X3,X4,b,x,y,B,A,F,C,E,D,若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,若 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;,结论:,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.,若 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,五、例题选讲:,例1:求的极值.,解: f(x)=x2-4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2., 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.,极大值28/3,极小值-4/3,当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：,求函数y=f(x)的极值的步骤:,2.解方程f/(x)=0；,1.求定义域和导数；,3.列表；,4.结论：,练习：求下列函数的极值：,求函数的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,六.思考,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,结论：函数的导数为零的点, 不一定是该函数的极值点.,f(x) 在x0处有极值的特点（1） f / (x0)=0 (2)在x0两侧导数异号,练习: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .,2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,注意：要检验两侧导数是否变号。,小结：,1.极值的定义：,3.求极值的步骤:,1).求导数 2).解方程f/(x)=0. 3).列表 4).结论：,（1） f / (x0)=0 (2)在x0两侧异号,2.可导函数y=f(x)在x0处有极值的特点：,

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