七年级培优专题01 质数那些事
9页1、专题01质数那些事阅读与思考 一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除,就叫作质数(也叫素数);如果能被1和本身以外的自然数整除,就叫作合数;自然数1既不是质数,也不是合数,叫作单位数这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:关于质数、合数有下列重要性质:1质数有无穷多个,最小的质数是2,但不存在最大的质数,最小的合数是421既不是质数,也不是合数;2是唯一的偶质数3若质数|,则必有|或|4算术基本定理:任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系):N= ,其中,为质数,为非负数(=1,2,3,)正整数N的正约数的个数为(1)(1)(1),所有正约数的和为(1)(1)(1)例题与求解【例1】已知三个质数,满足=99,那么的值等于_ (江苏省竞赛试题)解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出,的值【例2】若为质数,5仍为质数,则7为( ) A质数B可为质数,也可为合数 C合数D既不是质数,也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想:从简单情形入手,实验、归纳与猜想【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数 (上海市竞赛试题)解题思想:由
2、于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论【例4】 将1,2,2 004这2 004个数随意排成一行,得到一个数,求证:一定是合数 若是大于2的正整数,求证:1与1中至多有一个质数 求360的所有正约数的倒数和 (江苏省竞赛试题)解题思想:将1到2 004随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;只需说明1与1中必有一个是合数,不能同为质数即可;逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解【例5】设和是正整数,是奇质数,并且,求的值解题思想:由题意变形得出整除或,不妨设由质数的定义得到21=1或21=由及21为质数即可得出结论【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),都是质数求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码1,3,7,9 (青少年国际城市邀请赛试题)解题思想:一个绝对质数如果同时含有数字
3、1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被2或5整除能力训练A级1若,为整数,=1997,则=_ 2在1,2,3,这个自然数中,已知共有个质数,个合数,个奇数,个偶数,则()()=_3设,为自然数,满足1176=,则的最小值为_ (“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数,并且3也是质数,则48的值为_(北京市竞赛试题)5任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是 ( ) A4B8C12D06 在2 005,2 007,2 009这三个数中,质数有 ( ) A0个B1个C2个D3个 (“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位中,质数有() A1个B3 个C5个D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设,都是质数,并且=,求9写出十个连续的自然数,使得个个都是合数 (上海市竞赛试题)10在黑板上写出下面的数2,3,4,1 994,甲先擦去其中的一个数,然后乙再擦去一个数,如此轮流下去,若最后剩下的两个数互质,则甲胜;若最后剩下的两个数不互质,则乙
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