数学物理方法第一章节复变函数课件

1、,欢迎大家参加数学物理方程的学习,邬霞 ,,课程内容,复变函数论 复变函数 复变函数的积分 幂级数展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换 数学物理方程 数学物理定解问题 分离变数法 二阶常微分方法解法 本征值问题 球函数(柱函数) 积分变换法,,课程考核,作业，出勤 20% 期中 20% 期末 60%,,学习要求,保证出勤 课后复习 按时按量完成作业 有问题及时问 共同探讨，共同提高,,第一篇 复变函数论,第一章 复变函数,,1、1 复数与复数运算,（一）复数的基本概念 =a+ib 实部Re 虚部Im 复数平面内用矢量表示 复数的极坐标表示： (r,) 模 辐角,,复数的三角式：=r(cos+sin) 复数的指数式：=re i 注意： 1、辐角值不能唯一确定，可以取无穷多值，彼此相差2的整数倍。以arg表示其主值，也称为主辐角。 =Arg=arg+ 2k,,2、复数零，即实部、虚部都等于零的复数，其辐角无意义。 共轭复数 *=a-ib=r(cos-isin)=re i 互为共轭的复数关于实轴对称,,(二) 无限远点,在复变函数论中，将模为无限大的复数对应到复平面上的一点，称为无限远点

2、。 对应N极点 模无限大 辐角无明确意义,,（三）复数的运算,交换律、结合律与分配律都成立,,采用三角式或指数式更有利于乘、除、乘方和开方,,注意：,1、|z|2与z2的区别。 前者是模r的平方。zz*= |z|2 后者是z的自乘。 2、关于复数的研究可以转化为一对实数（实部、虚部）的研究。 例如：z=x+iy逼近常数z0=x0+iy0,即z逼近z0。可归结为x逼近x0，y逼近y0。,,1、2 复变函数,（一）复变函数的定义 在复平面上存在一个点集E，对于E中每一点，按照一定规律，有一个或多个复数值与之对应，则称为z的函数-复变函数。z为的宗量，定义域为E。 记作： =f(z),zE,,（二）区域的概念,满足一定条件的点集，称为区域，记作B。 邻域：以复数z0为圆点，以任意小正实数作半径划一个圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。 内点：若z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。 外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。,,境界点（边界点）：若z0的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0称为E的境界点。既不是内点，也不是外点。 境界点的全体成

3、为境界线。 直观地说，区域就是宗量z在复数平面的取值范围。 严格地说，区域是指满足下列两个条件的点集： （1）全由内点组成； （2）具有连通点，即点集中任意两点都可用一条折线连接起来，且折线上的点都属于该点集。,,闭区域：区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域。 注意：区域可以是各种各样的。 比如，圆形域 |z-z0|r, z0为圆心， r为半径。 环形域 a|z-z0|b, a为内半径，z0为环心， b为外半径。 表示闭圆域，闭环域,圆形域 |z|r,环形域 a|z|b,,（三）复变函数举例,,初等函数定义式：,,注意： 1、sinz和cosz具有实周期2，即：sin(z+2)=sinz, cos(z+2)=cosz 在实数域内，|sinx|1，|cosx| 1。,,但在复数域内，,,,2、ez,shz和chz具有纯虚数周期2i，即 3、由于Argz不能唯一确定，可以加减2k,则对于给定z，对数lnz=ln|z|+iArgz有无限多个值。 实数域中，负数的对数无意义，但在复数域中，当z为负实数时，复变函数lnz仍有意义，即 lnz=ln(|z|e i+i2n)=ln|z|+i(2n+

4、1),,把复变函数f(z)的实部和虚部分别记为u(x,y)和v(x,y),即f(z)= u(x,y) +iv(x,y),则复变函数可归结为一对二元实变函数。 因此，实变函数中的许多公式、定理都可以移植到复变函数中。 例如， f(z)在z0=x0+iy0的连续定义为：当z- z0时， f(z)- f(z0)可归结为一对二元实变函数u(x,y)和v(x,y)在(x0, y0)连续，即 当x-x0, y-y0时， u(x,y)-u(x0,y0),v(x,y)-v(x0,y0),,1、3 导数,设函数=f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上每一个z值，有且只有一个与之对应。若在B上的某点z，极限 则称函数= f(z)在z点可导，此极限称为f(z)在z点的导数，以f (z)或df/dz表示。 复变函数的导数定义，在形式上与实变函数的导数定义一样，因此，实变函数论中关于导数的规则和公式可以用于复变函数中。,,,必须指出的是，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，但是实质上却有很大不同。 因为实变数x只能沿实轴逼近零，复变数z却可以沿复数平面上任一曲线逼近零。因此，复变函数的可导是更

5、严格的要求。,,z沿平行于实轴方向逼近零，则y=0, z= x-0，于是：,z沿平行于虚轴方向逼近零，则x=0, z= y-0，于是：,,如果f(z)在点z可导，则以上两个极限必须存在且彼此相等，即 称为柯西-黎曼方程（条件），C-R条件，是复变函数可导的必要条件。 注意： C-R条件只能保证z沿实轴逼近零或沿虚轴逼近零时， f /z逼近同一极限，并不能保证z沿任意曲线逼近零时， f /z逼近同一极限，因此，C-R条件不是复变函数可导的充分条件。,,函数f(z)可导的充分必要条件：,f(z)的偏导数 存在且连续，并满足C-R条件。,,这一极限与z-0的方式无关，且为有限值。,,复变函数的可导比实变函数的可导更严格，具体表现之一就是，函数的实部和虚部通过柯西-黎曼条件约束。 极坐标中的柯西-黎曼方程：,作业：从直角坐标系中的C-R方程，推导极坐标中的C-R方程。,,1、4 解析函数,若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。 若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。 可见，函数在某一点解析，则必该点可导。 反之不成立！ 例如， f(z)=|

6、z|2仅在z=0点可导，而在其他各点均不可导。,,表明函数在某一点可导与解析是不等价的。 但是，函数若在某一区域B上解析，则在B上处处可导。即，函数在某一区域上可导与解析是等价的。,,解析函数的主要性质：,1、若f(z)=u+iv在B上解析，则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1, C2为常数)是B上两组正交曲线族。,,例如：,,,2、若f(z)=u+iv在B上解析，则u，v均为B上的调和函数。 调和函数是指，如果某函数H(x,y)在B上有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称H(x,y)为B上的调和函数。 后面将证明，某区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，那么u，v的二阶导数均存在且连续。,,,假设给定的二元调和函数的实部为u(x,y)，试求相应的虚部v(x,y)。 可分别利用三种方法计算： （1）曲线积分法；（2）凑全微分显式法；（3）不定积分法,,,,,,,1、5 平面标量场,物理或工程技术上经常要研究各种场，如电磁场、温度场。通常，这些场可能会随时间、空间发生变化。 若与时间无关，则称为恒定场，如静电场。 若研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直该方向的平面上进行研究，这样的场成为平面场。 平面是指，x,y变化则场值变化，与z无关，从三维变为二维。 标量，即不是矢量，无方向问题。,,首先来看平面静电场，在没有电荷的区域内，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程。那么可以用某一个解析函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)的实部或虚部表示该区域上的静电场电势。 解析函数f(z)称为该平面静电场的复势。因为它的实部或虚部就是电势。 设u(x,y)表示电势，那么u(x,y)=常数为等势线族。因为v(x,y)=常数与u(x,y)=常数垂直，那么v(x,y)=常数就是电场线族。这样v值本身就具有物理意义。,,,,,,作业： P5：1、（1）（2）（5） 2、（1）（4） P13 P18： 2、（2）（4）（6）（8）（10）,

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