数学建模课件复件ch05微分方程模型
60页1、第五章 微分方程模型,5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人,则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1)总人数N不变,病人和健康 人的 比例分别为,2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻
2、, (日接触率) tm,病人可以治愈!,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3)病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统,称移出者,SIR模型,假设,1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为,2)病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形,进行分析,5.2 经济增长模型,增加生产 发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,产值 Q(t),F为待定函数,资金 K(t),劳
3、动力 L(t),技术 f(t),= f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z 随着 y 的增加而增长,但增长速度递减,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,含义?,Douglas生产函数,QK 单位资金创造的产值,QL 单位劳动力创造的产值, 资金在产值中的份额,1- 劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1. Douglas生产函数,w , r , K/L ,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金) ,使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款,利率 r,劳动力付工资 w,2)资金与劳动力的最佳分配(静态模型),3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli方程,产值Q(t)增长,3) 经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长,3) 经济增长的条件,5.3 正
4、规战与游击战,战争分类:正规战争,游击战争,混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少,因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) 甲方兵力,y(t) 乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry 射击率, py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局,不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry射击率 py 命中率,游击战争模型,线性
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